Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Mittelwertsatz

Mittelwertsatz

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
couman990

couman990 aktiv_icon

23:46 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Hallo zusammen,

es soll durch Quadrieren anhand des Mittelwertsatzes gezeigt werden, dass für x>0 gilt:

1+x<1+x2

1+x<x24+x+1

Nur wie kann man diesbezüglich den Mittelwertsatz anwenden ?
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

02:41 Uhr, 19.04.2019

Antworten
Hallo,

wenn man den Mittelwertsatz anwenden will, dann geht das auch ohne zu quadrieren.

Es gibt mindestens ein Punkt c(a,b) bei dem gilt fʹ(c)=f(b)-f(a)b-a

f(x)=1+x

f(x)-f(0)x-0=121+c mit c(0,x)

1+x-1x=121+c

1+x-1=x21+c

Für ein beliebiges c(0,x) gilt x21+c<x2

Gruß

pivot
couman990

couman990 aktiv_icon

17:49 Uhr, 19.04.2019

Antworten
ok, danke !

f(b)-f(a)b-a=1+x-1x

Das verstehe ich noch.
Aber wie kommt man dann auf 121+c?

Auch verstehe ich nicht, wie ich mit x21+c<x2 den Verhalt 1+x<1+x2 zeigen kann.

Wenn ich alles zunächst Quadrieren würde, dann würde ich ja zunächst erhalten:

f(b)-f(a)b-a=1+x-1x=xx

Wie müsste ich dann weiter machen ?
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

18:25 Uhr, 19.04.2019

Antworten
>> Aber wie kommt man dann auf ... <<

Ableitung von f(x) an der Stelle c.

>>Auch verstehe ich nicht, wie ich mit x21+c<x2 den Verhalt 1+x<1+x2 zeigen kann.<<

Ersetze =x21+c durch <x2

Quadrieren war jetzt nicht mein erster Gedanke. Auf jeden Fall musst du bedenken, dass quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Das ist besonders knifflig wenn es sich um Ungleichungen handelt.
couman990

couman990 aktiv_icon

18:36 Uhr, 19.04.2019

Antworten
ok danke , also wird quasi das Ergebnis des Mittelwertsatzes mit der 1.Ableitung gleichgesetzt ?

Das Quadrieren ist in der Aufgabe gefordert, verstehe auch nicht ganz wieso.


Nochmal zu der 2. Frage: Ich verstehe immer noch nicht, was ich da ersetzen, soll, um den besagten Zusammenhang zu verdeutlichen ?
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

18:48 Uhr, 19.04.2019

Antworten
<<ok danke , also wird quasi das Ergebnis des Mittelwertsatzes mit der 1.Ableitung gleichgesetzt ?>>

Naja, die 1. Ableitung an der Stelle x=c ist ja Teil des Mittelwertatzes. Es wird die 1. Ableitung mit dem Differenzenquotienten gleichgesetzt.

>>Nochmal zu der 2. Frage: Ich verstehe immer noch nicht, was ich da ersetzen, soll, um den besagten Zusammenhang zu verdeutlichen ?>>

Wir haben 1+x-1=x21+c

Jetzt gilt für c>0, dass x21+c<x2. Somit ist auch 1+x-1<x2. Und es folgt ...



couman990

couman990 aktiv_icon

19:09 Uhr, 19.04.2019

Antworten
Ok danke, da also 1+x-1=x21+c<x2 ist, gilt nun :1+x<1+x2, es wird also nur "umgestellt " bzw. umgeformt (1 auf die rechte seite bringen)?


Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

19:13 Uhr, 19.04.2019

Antworten
Edit: Genau. Es wird umgestellt, also auf beiden Seiten der Ungleichung 1 addiert.

Wenn sonst keine weiteren Fragen mehr sind, bitte abhaken.
Frage beantwortet
couman990

couman990 aktiv_icon

14:23 Uhr, 20.04.2019

Antworten
Vielen Dank !