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Mittelwertsatz und Differentiation
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation
 
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Guten Abend, ich hänge mal wieder an einer Aufgabe rund um Differentiation und Mittelwertsatz. 1) Seien f,g: R->R differenzierbare Funktionen mit f'(x) > g'(x) f.a. x und f(a) = g(a) für ein a. Zeigen Sie, dass dann: f(x) > g(x) für x>a und f(x) < g(x) für x < a. 2) Sei f:[0,1] -> R eine differenzierbare Funktion mit f'(x) >= M > 0 f.a. x aus [0,1]. Zeigen Sie, dass ein Intervall I enthalten in [0,1] der Länge l = 1/4 existiert mit: |f(x)| >= M/4 für alle x element Intervall. Also zu 1. bin ich mir im klaren, dass das so sein muss, im Prosa: Wenn die Ableitung von f stets größer ist als die von g, dann hat f stets einen größeren Anstieg als g. Somit ist sie "links von a" unterhalb von g, bei a schneiden sich f und g, und nach a steigt f stärker als g. Dabei kann es sich glaube ich auch nur um Funktionen mit ungeradem Rang handeln, also x oder x³ oder so.... Aber wie schreibe ich das formal MIT Mittelwertsatz? zur 2. Aufgabe habe ich nicht einmal eine Vorstellung, was der Prof. von mir will.... oO Ich hoffe und bedanke mich schonmal für die Hilfe :) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Könnte man zu 1. ansetzen, dass ja gilt: es gibt ein c, für das gilt: f'(c)= f(b)-f(a) / b-a (analog dann auch für g) und dann schau ich irgendwie bei a+e und a-e oder so.... aber wie bekomme ich f und g zusammen?.... ;( Hab keinen Ansatz... :( |
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Ja einzeln ist doof - es können sich ja verschiedene PUnkte für und ergeben. Betrachte einmal die Funktion . Was kannst du über aussagen? Was über ? Was somit über für bzw. ? Übrigens müssen und nicht unbedingt ganzrationale Funktionen sein! Bei 2 nimm das Gegenteil an, dass also in jedem Intervall subseteq der Länge ein Punkt mit existiert. Insbesondere existiert dann solch ein Punkt und ein Punkt . Dann hat man und . An einem Zwischnert gilt dann . Was folgt für ? |
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also, wenn ich h(x) = f(x) - g(x) als Hilfsfunktion nehme, dann müsste ja gelten, dass h(x) für x<a negativ und für x>a positiv ist. h(a) wäre ja 0. Und h'(x) muss ja immer positiv sein. Also ein steigender Graph, weil f'(x) > g'(x) nach Aufgabenstellung. Das Problem ist nur, dass mein Tutor das immer ganz genau und formal aufgeschrieben haben will. Im Prosa bekommt man bei ihm eig. nie Punkte, das find ich immer doof. 2. Schau ich mir jetzt nochmal an mit deinem Hinweis. |
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| Aufgabe 1 habe ich wohl erstmal gut formuliert aufgeschrieben, zur 2. fällt mir nur ein, dass man bei |f'(c)| eine Fallunterscheidung für f(x0)>f(x1) und anders rum machen müsste. aber deine x0 und x1 verstehe ich nicht ganz. die Bruchstriche sind doch nicht richtig, oder? Wenn doch habe ich ein dolles Brett vorm Kopf. |
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Sitz den ganzen Montag und halben Sonntag an dem Blatt, das ist das letzte, was wir abgeben müssen und ich brauch dringend mehr als 50% der Punkte.... Wenn noch das ein oder andere geschrieben wird, bevor ich ihn morgen einwerfen muss, würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank schonmal. |
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Ups, die Bruchstriche bei den Intervallgrenzen hatten wohl das Komma mit in den Bruch gezogen . |
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Ja aber was folgt denn nun für |f'(c)| ? BRingt mir die Fallunterscheidung was? |
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Ok, hat sich zeitlich dann erledigt. Danke :) |
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