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Mittlere Ränge in der Statistik

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Tags: mittlerer Rang, Rangkoeffizient

Kerryy aktiv_icon

21:16 Uhr, 24.01.2021

Hallo,

ich verzweifle etwas an der Aufgabe die ich als Bild beigefügt habe. Da soll ich den Ausdruck über die Berechnung der mittleren Ränge beweisen, doch leider habe ich keinerlei Ansatz. Wie soll ich das ganze angehen? Wäre vollständige Induktion hilfreich? Dann wüsste ich aber nicht wie ihre Anwendung hier aussehen würde. Ich wäre für jeden Tipp oder Ansatz dankbar!

Wäre vollständige Induktion hilfreich? Dann wüsste ich aber nicht wie ihre Anwendung hier aussehen würde. Ich wäre für jeden Tipp oder Ansatz dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

21:36 Uhr, 24.01.2021

Hallo.

∣ {j : x_{j} \leq x_{i}} ∣

ist wohl die Mächtigkeit der Menge

{j : x_{j} \leq x_{i}}

Edit: Mächtigkeit ist wohl der bessere Ausdruck.

Z.b. ist

{j : x_{j} \leq x_{i}}

bei

i = 2

gleich

{j : x_{j} \leq x_{2}} = {x_{1}, x_{2}}

und somit

∣ {x_{1}, x_{2}} ∣ = 2

Soweit meine ersten Ideen.

DrBoogie aktiv_icon

21:55 Uhr, 24.01.2021

Wir können die Stichprobe als sortiert betrachten, also

x_{1} \leq x_{2} \leq . . . \leq x_{n}

.
Seien jetzt

A_{1}, . . ., A_{k}

die "Gruppen" von gleichen

x_{i}

. Also wenn ein

x_{i}

einzeln steht, wird er zu einer

A_{j}

aus einem Element, wenn man ein Paar hat, verbindet man sie zu einem

A_{j}

usw.
Um es deutlicher zu machen. Wenn wir diese

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Elemente haben:
2 3 5 5 6 7 7 7 9 9, dann haben wir

A_{1} = 2

A_{2} = 3

A_{3} = 5

5

A_{4} = 6

A_{5} = 7

7

7

A_{6} = 9

9

.

Dann haben für ein allein stehendes

x_{i}

R = \frac{i + i - 1 + 1}{2} = i

, denn es gibt

i

Elemente

\leq

als dieses und

i - 1

Elemente

<

als dieses.

Für eine Gruppe

A_{l}

aus

m

gleichen Elementen haben für das gleiche

R

für alle Elemente, und zwar wenn diese Gruppe bei

j + 1

anfängt und bei

j + m

aufhört, also aus

x_{j + 1}, . . ., x_{j + m}

besteht, dann haben wir

j

Elemente

<

als diese und

j + m

Elemente

\leq

als diese, also haben alle Elemente der Gruppe

R = \frac{j + j + m + 1}{2} = \frac{2 j + m + 1}{2}

.

So, jetzt summieren wir Elemente einer solchen Gruppe:

\sum_{i = j + 1}^{j + m} \frac{2 j + m + 1}{2} = m \frac{2 j + m + 1}{2}

und das ist genau die Summe der gleichen Elementen

\sum_{i = j + 1}^{j + m} i

. Also, die Summe über die Gruppe

x_{j + 1}, . . ., x_{j + m}

ist dieselbe Zahl als ob wenn es keine Gruppe wäre, sondern wir

x_{j + 1} < . . . < x_{j + m}

hätten.
Das zeigt, dass wir einfach annehmen können, dass

x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n}

und wir keine Bindungen haben. Und in diesem Fall gilt nach schon gesagtem

R_{i} = i

und damit

\sum_{i = 1}^{n} R_{i} = \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}

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