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Mittlere und Momentane Änderungsrate

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: unterschied

Sheluvsfashion aktiv_icon

18:08 Uhr, 13.01.2011

Meine erste Frage lautet : Was ist der Unterschied zwischen der mittleren änderungsrate und der momentane änderungsrate? Beide Sachen kann man doch mit

f (x) - (

fx0)

__{_}__{_}__{_}__{_}_

x -

xo

ausrechnen?

Wenn ich zum Beispiel das hier habe :

f (x) = x^{2} - 3 x;

= 3

haben dann kann ich das aurechnen aber wenn ich zum Beispiel zwei Punkte habe wie in dieser Aufgabe, dann kann ich das i-wie nicht ausrechen.

f (x) = 0,5 x^{3} - 2 x + 3; P (2 | 3)

Welche Zahl muss ich dann für

x

einsetzen und welche dann für xo?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

07:40 Uhr, 14.01.2011

die mittlere Änderungsrate (analog zur Durchschnittsgeschwindigkeit) ergibt sich aus dem Verhältnis der y-Werte zu den X-Werten.
Dies wird durch ein Steigungsdreieck veranschaulicht.
Die Hpothenuse wird durch die beiden Punkte begrenzt. Die Hypothenuse stellt dann eine Sekante dar.

\bar{a} = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}

die momentane Änderungsrate (analog der Momentangeschwindigkeit) ergibt sich wie die durchschnittliche Änderungsrate, jedoch nur für eine minimale x_Änderung.
Geht die x-Differenz gegen Null

(lim_{Δ x \to 0}),

so wird auch das Steigungsdreick minmal klein und aus der Sekante, die 2 Punkte verbunden hat wird nun eine Tangente, die durch einen Punkt geht.

a = (lim_{Δ x \to 0}) \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{d y}{d x} = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}

nun stellt man dies nicht mit 2 Punkten

(x_{0}; y_{0})

und

(x_{1}; y_{1})

dar, sondern nur mit dem Punkt

(x_{0}; y_{0})

und einen weiteren unendlich dichten Punkt der auf der X-Achse nur eine Strecke von

lim_{h \to 0} h

entfernt ist.

Der 2. Punkt hat also die x-Koordinate

x_{1} = x_{0} + h

Dem zu Folge ist der Funktionswert

y_{1} = f (x_{1}) = f (x_{0} + h)

Damit ergibt sich für die momentane Änderung:

a = (lim_{Δ x \to 0}) \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{d y}{d x} = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{(x_{0} + h) - x_{0}} = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Die momentane Änderung entspricht also der Steigung der Tangenten im Punkt

x_{0}

Jetzt zu deiner Aufgabe:

f (x) = \frac{x^{3}}{2} - 2 \cdot x + 3

Schauen wir mal, was für

x = 2

rauskommt:

f (x) = \frac{2^{3}}{2} - 2 \cdot 2 + 3 = \frac{8}{2} - 4 + 3 = 3

Der Punkt

P (2; 3)

liegt also auf der Kurve.

Für diesen Punkt lässt sich dann auch die momentane Änderung errechnen.

Entweder nun über die Ableitung:

a = f' (x) = (\frac{x^{3}}{2} - 2 \cdot x + 3)' = \frac{3}{2} \cdot x^{2} - 2

und somit:

a (2) = f' (2) = \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2} - 2 = 4

oder über obige Änderungsformel:

a = \frac{(\frac{{(2 + h)}^{3}}{2} - 2 \cdot (2 + h) + 3) - (\frac{2^{3}}{2} - 2 \cdot 2 + 3)}{h}

a = \frac{(\frac{2^{3} + 3 \cdot 4 \cdot h + 3 \cdot 2 \cdot h^{2} + h^{3}}{2} - 4 - 2 \cdot h + 3) - (\frac{8}{2} - 4 + 3)}{h}

a = \frac{\frac{8 + 12 \cdot h + 6 \cdot h^{2} + h^{3}}{2} - 4 - 2 \cdot h + 3 - \frac{8}{2} + 4 - 3}{h}

a = \frac{4 \cdot h + 3 \cdot h^{2} + \frac{h^{3}}{2}}{h}

a = 4 + 3 \cdot h + \frac{h^{2}}{2}

für

lim_{h \to 0} 3 \cdot h

und

lim_{h \to 0} \frac{h^{2}}{2}

egibt sich jeweils

0,

somit:

a = 4

;-)

Sheluvsfashion aktiv_icon

12:54 Uhr, 16.01.2011

Sehr hilfreich, danke!

(:

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