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Modellierung, n Lose, genau ein Gewinn
Universität / Fachhochschule
Wahrscheinlichkeitsmaß
Tags: Modellierung, Wahrscheinlichkeit
 
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Hallo, ich möchte gerade folgende Aufgabe bearbeiten: In einem Topf liegen n Lose. Darunter genau ein Gewinn. n Personen stehen in einer Warteschlange vor dem Topf. Die Personen ziehen die Lose aus dem Topf ohne zurücklegen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person, die als k-te zieht gewinnt. Insbesondere, ist es besser als erster oder als letzter zu ziehen? Die Person, die als erster zieht gewinnt mit einer Wahrscheilichkeit von und verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von Die Person, die als zweiter zieht kann nur gewinnen, wenn Person 1 verloren hat. Die Wahrscheinlichkeit für das Gewinn-Los ist daher Und die Wahrscheinlichkeit ebenfalls zu verlieren die Gegenwahrscheinlichkeit zu gewinnen, also Und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn oder Verlust ist also unabhängig davon wie viele vorher gezogen haben. Man gewinnt stets mit einer Wahrscheinlichkeit von und verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von Das sehe ich doch richtig, oder? Ich frage mich, wie man so etwas mathematisch korrekt modellieren kann. Über einen Ansatz würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Das sehe ich doch richtig, oder? Ja, die Gewinnchance ist für jeden egal wann er an der Reihe ist. Überlegen kannst du dir das mühsam oder einfacher. Die mühsame Variante ist vl ähnlich der deinen. Damit die k-te Person gewinnt, müssen alle vor ihr eine Niete ziehen. Die WKT dafür ist für die 1. Person Die WKT dafür ist für die 2. Person Die WKT dafür ist für die 3. Person . Die WKT dafür ist für die . Person Und die WKT, dass die . Person gewinnt ist danach Insgesamt also P(k-te Person gewinnt)= Nach kräftigem Kürzen bleibt also nur mehr vom ersten Bruch der Nenner und vom letzten Bruch der Zähler 1 übrig. Lässt sich natürlich auch hübsch mit Prduktzeichen oder auch Faktoriellen schreiben. Du kannst den ersten Teil (WKT, dass die ersten Personen Nieten ziehen auch kombinatorisch erfassen. "Günstige" "Mögliche" Das multipliziert mit der WKT, dass die k-te Person aus den noch verbliebenen das Gewinnlos zieht liefert natürlich wieder . Die einfacherere Sichtweise: Die Personen ziehen nicht hintereinander sondern gleichzeitig, das ändert keine Gewinnchance. Natürlich hat nun jeder die Gewinnwkt. . |
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"Die einfacherere Sichtweise: Die Personen ziehen nicht hintereinander sondern gleichzeitig, das ändert keine Gewinnchance. Natürlich hat nun jeder die Gewinnwkt. 1n." Wie lässt sich eine solche Sichtweise mathematisch beschreiben? Selbst wenn alle "gleichzeitig" ziehen, was auch immer das mathematisch bedeuten mag, so müssen die Ergebnisse der einzelnen Personen doch irgendwie von einander abhängen? |
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Subjektiv mag es einen Unterschied ausmachen, ob jemand beim "Hintereinanderziehen" als erster an der Reihe ist und sein Schicksal sozusagen selbst in vollem Umfang in die Hand nehmen kann, oder ob er als letzter zwangsweise das nehmen muss, was übrig blieb. Objektiv macht es aber keinen Unterschied (sofern das Gewinnlos nicht heimlich markiert wurde). Gleichzeitiges Ziehen kannst du auch so sehen, dass jeder Person einfach ein Los zugeordnet wird. Oder sieh es so - es wird zwar hintereinander gezogen, aber die Lose werden nicht geöffnet. Am Ende hat also jede Person ein Los in der Hand und nur eines davon gewinnt. Bei dieser Sichtweise, finde ich, ist es sehr deutlich, dass die Reihenfolge keinerlei Auswirkung hat und jeder die gleiche Gewinnchance hat. |
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Ja, das verstehe ich schon. Bei dieser Aufgabe geht es mir auch weniger um die Rechnung, sondern die Modellierung. Also was ist der Wahrscheinlichkeitsraum und allem drum und dran. Und dann eben das definieren der Ereignisse, wo ich nicht so recht weiß wie man es korrekt aufschreibt. Sei das Ereignis, dass Person k Gewinnt. Wie kann ich das was ich gerechnet habe, oder die Anschauung mit dem gleichzeitigen ziehen korrekt modelliert werden? |
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Sei Ak das Ereignis, dass Person Gewinnt. Nun, dann ist wäre dann die Menge aller Teilmengen von Anm.: würde dann eben bedeuten: "Person 3 gewinnt oder Person 4 gewinnt" Und für das Wahrscheinlichkeitsmaß gilt wobei die Kardinalität von bezeichnet, hier also die Anzahl der Mengenelemente. zB Da es sich hier um einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum handelt, abzählbar ist, würde es natürlich genügen, nur die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse festzulegen, also einfach mit . |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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