Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Modulo / Kongruenzrechnung mit rationalen Zahlen

Modulo / Kongruenzrechnung mit rationalen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Kryptologie

Teilbarkeit

Tags: Elementare Zahlentheorie, Kongruenz, Kryptologie, Modulare Arithmetik, modulo, Rationale Zahlen, Teilbarkeit

Mathefew aktiv_icon

23:59 Uhr, 08.03.2023

Folgende Aussage ist laut meiner Aufgabensammlung und Wolfram wahr:

7^{- 1} \equiv 3 mod 10

Ich forme zunächst um in:

\frac{1}{7} \equiv 3 mod 10

Mein Lösungsansatz:

3 mod 10 = 3

zu klärende Frage: ist

\frac{1}{7} mod 10 = 3

?

Bis jetzt habe ich mir dazu folgende Gedanken gemacht:

\frac{1}{7} = 0 \cdot 10 + \frac{1}{7} \Rightarrow \frac{1}{7} mod 10 = \frac{1}{7} \neq 3

Wolfram sagt

7^{- 1} mod 10 = 3

??!

Ich meine auch schon mal irgendwo gelesen zu haben, dass Kongruenz & Modulo nur für

ℤ

definiert sind.
Wie verhält es sich also mit

\frac{1}{7} \in ℚ

?

Vielen Dank für eure Unterstützung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz

HAL9000

00:01 Uhr, 09.03.2023

7^{- 1} \equiv 3 mod 10

folgt schlicht aus

7 \cdot 3 = 21 \equiv 1 mod 10

Mathefew aktiv_icon

00:06 Uhr, 09.03.2023

Das verstehe ich nicht.
Kannst du deine Antwort bitte etwas genauer erklären oder mir einen Tipp geben, wo ich das nachlesen kann?

Vielen Dank :-)

HAL9000

00:36 Uhr, 09.03.2023

Muss man das wirklich noch erläutern? Das erhaltene

7 \cdot 3 \equiv 1 mod 10

mit

7^{- 1}

multipliziert ergibt direkt

3 \equiv 7^{- 1} mod 10

michaL aktiv_icon

12:58 Uhr, 09.03.2023

Hallo,

@HAL9000: Das noch-nicht-verstanden-Haben sitzt mMn woanders.

@Mathefew:
Du hast ein eingeschränktes, noch nicht auf Hochschule erweitertes Verständnis von

.^{- 1}

.
Es gibt keinen hoch-Minus-Eins-Operator ohne "Multiplikation". Oder anders gesagt: Der hoch-Minus-Eins-Operator ist anhängig von der verwendeten "Multiplikation" (allgemeiner: Verknüpfung).

Schaue dir bitte eure Definition von Gruppen noch mal an.

Dort steht so etwas wie:
Zu jedem

a \in G

existiert ein eindeutiges

b \in G

, sodass

a ⊙ b = b ⊙ a = e

gilt. (Dabei ist "

⊙

" die verwendete assoziative Verknüpfung auf

G

und

e

das (eindeutige) neutrale Element bzgl. "

⊙

".)

In dem Fall bezeichnet man nämlich

b

als

a^{- 1}

.

Ein Beispiel: Ist

G

eine geeignete Menge reeller Funktionen und "

⊙

" die Hintereinanderausführung(!) "

\circ

", so hätten wir also folgende "Inversenbildung":

(g \circ f) (x) = x

für alle

x

, oder (wenn man auf die Argumente verzichten möchte, um die Sache mit der "Multiplikation" stärker in den Vordergrund zu rücken):

g \circ f = id

In dem Falle wäre

g

nämlich die Umkehrfunktion von

f

, die man dann auch als

f^{- 1}

schreiben würde.

Übrigens kommt aus diesem Kontext auch die unsägliche Taschenrechnerschreibweisefür die (partiellen) Umkehrfunktionen

\arcsin

, die auf Taschenrechnern eben gern mal als

\sin^{- 1}

bezeichnet wird.

So, kommen wir zur eigentlichen Sache:

7^{- 1}

bedeutet im Kontext modulo 10 (oder irgend eines anderen Moduls) eben, dass wir das Inverse eines Elementes der Gruppe

(ℤ_{10}^{*}, \cdot, \overline{1},^{- 1})

suchen.
Ja, und dazu muss man erst einmal verstanden haben, was es mit dieser Gruppe eigentlich so auf sich hat.
Sicher steht das in deiner Mitschrift. (Wenn der Prof ein Skript heraus gibt und du nicht mitschreibst, dann steht es eben da.)
Und daher regt sich - meiner Meinung nach zurecht - Hal9000 auch darüber auf.
Du scheinst zu wenig über Gruppen und diese Restklassengruppen oder - genauer - Restklassenringe zu wissen.
Das Thema ist aber so einfach, dass man interessierten Schülern das auch in der Mittelstufe beibringen könnte.

So, nun noch mehr zu Kern:

7^{- 1}

bedeutet im Kontext modulo eben nicht

\frac{1}{7}

.

Im Kontext der Multiplikation rationaler oder reeller Zahlen beduetet

7^{- 1} = \frac{1}{7}

, weil eben

\frac{1}{7} \cdot 7 = 1

gilt.
Gesucht ist die Restklasse

\overline{x}

einer ganzen Zahl

x

, für die

\overline{7} \cdot \overline{x} = \overline{1}

gilt.
Alternativ (aus meiner Sicht ältern und weniger konsistent) kann man die Gleichung eben auch als

7 \cdot x = 1

mod 10 schreiben.

Und - wenn man modulo verstanden hat, kommt man durch schieres Probieren einfach darauf, dass

x = 3

es tut.
(Nicht, dass dies bedeuteten würde, das hinter der Sache nicht noch mehr stecke...)

Mfg Michael

Mathefew aktiv_icon

13:33 Uhr, 09.03.2023

Vielen Dank Michael - damit ist die Frage für mich beantwortet.

Die Modulorechnung konnte ich von Beginn an nachvollziehen.

Wie du richtig erkannt hast, habe ich die

7^{- 1}

aber im falschen Kontext gesehen und nicht verstanden, dass es sich hierbei nicht um ein Potenzgesetz handelt, sondern das multiplikativ Inverse zu

\bar{7} \in ℤ^{⋆} 10

gemeint ist.

Beim Multiplizieren mit dem Inversen muss ja das neutrale Element der Multiplikation, also

\bar{1}

herauskommen.

Dieses Inverse Element zu

\bar{7}

ist für mich nachvollziehbar die

\bar{3},

denn

\bar{7} \cdot \bar{3} = \bar{1} mod 10

.

Damit wird die Aussage zu

3 \equiv 3 mod 10

und das ist natürlich wahr.

Freundliche Grüße
Felix

Mathefew aktiv_icon

13:34 Uhr, 09.03.2023

[

Duplikat]

Mathefew aktiv_icon

13:35 Uhr, 09.03.2023

[

Frage beantwortet]

1568290

1568276

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?