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Möbius-Gruppe

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Tags: Möbius

Sukomaki aktiv_icon

14:19 Uhr, 10.07.2019

Hallo,

ich habe eine Frage :

Seien

A := (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array})

eine reguläre Matrix und

f := z \to \frac{a z + b}{c z + d}

die zugeordnete Möbius-Transformation.

Warum sind

A

und

f

"isomorph"?

Die Gleichheit der Koeffizienten zeigt sich ja beim Iterieren der Anwendung :

A^{n}

entspricht

f^{n} (z)

Beispielsweise die zweite Iteration :

A^{2} = (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{array})

f^{2} (z) = \frac{a \frac{a z + b}{c z + d} + b}{c \frac{a z + b}{c z + d} + d} = \frac{a (a z + b) + b (c z + d)}{c (a z + b) + d (c z + d)} = \frac{(a^{2} + b c) z + (a b + b d)}{(a c + c d) z + (b c + d^{2})}

Gibt es da eine interdisziplinäre Begründung für? :-)

Oder eine simple Erklärung auf die ich nur nicht komme?

Wie auch immer, finde ich die Gleichheit zwischen Matrix und
Möbius-Transformation sehr faszinierend.

Gruß
Maki

ermanus aktiv_icon

16:27 Uhr, 10.07.2019

Hallo Maki76,

A

und

f

sind nur "homomorph"; denn du kannst leicht nachprüfen,
dass die Matrizen

(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})

und

(\begin{array}{cc} a r & b r \\ c r & d r \end{array})

für jedes komplexe

r \neq 0

dieselbe
Möbiustransformation erzeugen.
Was dahintersteckt, ist, dass man die Möbiustrafos garnicht als
Abbildungen von

ℂ

nach

ℂ

auffasst, sondern
als projektive lineare Abbildungen der projektiven
komplexen Gerade

P_{1} (ℂ)

auf sich.
Und in diesem Kontext werden diese Abbildungen ganz normale
Klassen linearer Abbildungen des Vektorraums

ℂ^{2}

in sich,
und lineare Abbildungen eines 2-dimensionalen Vektorraums beschreibt
man nun mal mit

2 \times 2

-Matrizen.
Wenn dich mehr hierzu interessiert, schreibe ich dir gerne
noch etwas über den genaueren Zusammenhang.
Gruß ermanus

Sukomaki aktiv_icon

19:04 Uhr, 10.07.2019

Hallo ermanus,

auf jeden Fall interessiert mich das genauer.

Mit Möbius-Transformationen habe ich mich einige Wochen im Zusammenhang
mit reellen Iterationen (hier bezeichnet mit "

< ε >

") von

\frac{1}{z}

beschäftigt.

Sei o.B.d.A

n = 5

. Dann suche ich eine Funktion

f

, für die

f^{< n >} (z) = \frac{1}{z}

ist.
Eine solche wäre z.B.

f := z \to z^{((- 1)^{\frac{1}{n}})}

. Dann ist

f^{< n >} (z)

gleich

z^{((- 1)^{\frac{n}{n}})} = \frac{1}{z}

.

Denkste!

Die Gleichheit ist i.A. nur gegeben, wenn

z \in ℝ^{+}

Schon für negative Werte kann es zu einem "Phasenüberschlag" kommen (s. linker Anhang).
Das ist das Phänomen, das im Zusammenhang mit "virtuellen Zahlen" (

\arg (z) > π

) auftritt.

Beispiel : Es sollte

((- 7)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (- 7)^{2} = 49

sein.
Aber in der Tat ist

((- 7)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = - 42.0526 - 25.1511 \cdot i \neq 49

.
Immerhin ist der Radius mit 49 richtig.

Eine mögliche alternative Funktion - und hier kommt der Möbius ins Spiel - ist

g := z \to \frac{(1 + (- 1)^{\frac{1}{n}}) \cdot z + (1 - (- 1)^{\frac{1}{n}})}{(1 - (- 1)^{\frac{1}{n}}) \cdot z + (1 + (- 1)^{\frac{1}{n}})}

.

Dann ist

g^{< n >} (z) = \frac{1}{z}

und es tritt kein Phasenüberschlag auf (s. rechter Anhang)

Was die Möbius-Transformationen und die Projektion auf sich selbst betrifft
so bin ich sehr neugierig auf den genaueren Zusammenhang.

Gruß
Maki

ermanus aktiv_icon

11:32 Uhr, 12.07.2019

Hallo,
hier wie versprochen eine Erklärung der Möbiustransformationen
vom Standpunkt der projektiven komplexen Geraden

P = P_{1} (ℂ)

aus:

Man betrachtet die Menge

ℂ^{2} \ {(0, 0)}

. In dieser Menge
definiert man eine Äquivalenzrelation

(z_{1}, z_{2}) \sim (\tilde{z_{1}}, \tilde{z_{2}}) \overset{}{\Leftrightarrow} \exists r \in ℂ^{*} : (\tilde{z_{1}}, \tilde{z_{2}}) = r (z_{1}, z_{2})

.
Die "Punkte" von

P_{1} (ℂ)

sind die Klassen bzgl. dieser
Äquivalenzrelation.
Für die Äquivalenzklasse von

(z_{1}, z_{2})

schreibt man

(z_{1} : z_{2})

und nennt dies die Darstellung durch "homogene Koordinaten".
Es ist z.B. so

(i : i + 2) = (1 : 1 - 2 i)

.
Die Punkte

(z_{1} : z_{2})

mit

z_{2} \neq 0

kann man schreiben als

(\frac{z_{1}}{z_{2}} : 1)

.
Setzt mn

z = \frac{z_{1}}{z_{2}}

hat man

(z : 1)

. Dies sind die "endlichen Punkte"
von

P

, so dass man eine Einbettung

ℂ \to P, z \mapsto (z : 1)

erhält. Der Punkt

(z_{1} : 0) = (1 : 0)

ist der einzige "unendliche Punkt

\infty

"
von

P

, d.h. man kann folgende Identifikation

ℂ \cup {\infty} ≅ P_{1} (ℂ)

vornehmen.

Wir betrachten nun lineare Abbildungen

(\begin{array}{c} w_{1} \\ w_{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{c} z_{1} \\ z_{2} \end{array}),

also

(w_{1}, w_{2}) = (a z_{1} + b z_{2}, c z_{1} + d z_{2})

.

Übergang zu den homogenen Koordinaten liefert:

(w_{1} : w_{2}) = (a z_{1} + b z_{2} : c z_{1} + d z_{2})

.

Im Falle

w_{2} \neq 0

bedeutet das

(\frac{w_{1}}{w_{2}} : 1) = (\frac{a z_{1} + b z_{2}}{c z_{1} + d z_{2}} : 1)

.

Im Falle eines endlichen Punktes (also

z_{2} \neq 0

) setzen wir

w := \frac{w_{1}}{w_{2}}

und

z = \frac{z_{1}}{z_{2}}

und bekommen

(w : 1) = (\frac{a z + b}{c z + d} : 1)

, also

w = \frac{a z + b}{c z + d}

Im Falle des Punktes

z = \infty

hat man

(w_{1} : w_{2}) = (a z_{1} : c z_{1})

, was

w = \frac{a}{c}

entspricht.

Gruß ermanus

Sukomaki aktiv_icon

12:29 Uhr, 13.07.2019

Danke für Deine ausführliche Erklärung.

Die Bezeichnung "homogene Koordinaten" irritiert mich ein wenig. Ich kannte
diese bis jetzt nur als Erweiterung einer Transformationsmatrix, so dass
Translationen ebenfalls berücksichtigt werden können.

Was Du schreibst ist schon recht interessant, aber ich habe nicht alles
verstanden.

Warum können wir einfach von

(w_{1}, w_{2})

(w_{1} : w_{2})

übergehen?

Und sind die Möbius-Transformationen die Einzigen, die die Riemann-Kugel
konform auf sich selbst abbilden (Wikipedia) oder gibt es da noch andere?
Nee, ne?

Und wenn die reelle projektive Gerade homöomorph zum Kreis ist, warum
heisst sie dann Gerade (Wikipedia) und nicht Kreis? :-)

Bei der stereographischen Projektion (Wikipedia) blicke ich auch nicht
ganz durch. In dem Artikel steht, dass

(x, y, z) \mapsto [1 : \frac{x + i y}{1 - z}] = [1 - z : x + i y]

,
aber ich verstehe dabei nicht, wie die Riemann-Kugel auf sich selbst
abgebildet wird. :-(

Und müsste es nicht

[x + i y : 1 - z]

heißen? Weil vorher geschrieben wurde, dass
die Projektion gemäß

(x, y, z) \mapsto (\frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z}) = \frac{x + i y}{1 - z}

die Sphäre nach

ℂ

abbildet.

Gruß
Maki

ermanus aktiv_icon

13:01 Uhr, 13.07.2019

Nachher antworte ich etwas länger.
Hier nur die Frage:
ein 3-Eck und ein 4-Eck sind homöomorph; warum nennt man
dann nicht die 4-Ecke 3-Ecke? ;-)

ermanus aktiv_icon

13:44 Uhr, 13.07.2019

Hier eine Antwort auf eine deiner Fragen:
Die konformen Abbildungen der Riemannschen Zahlkugel
auf sich sind genau die Möbiustransformationen.

ermanus aktiv_icon

11:35 Uhr, 14.07.2019

Zum Übergang

(w_{1}, w_{2})

(w_{1} : w_{2})

:

Für die Punkte

(z_{1} : z_{2})

der projektiven Gerade gilt ja

(z_{1} : z_{2}) = {r \cdot (z_{1}, z_{2}) ∣ r \in ℂ^{*}}

.
Diese Punkte sind also gerade die 1-dimensionalen Unterräume
des Vektorraums

ℂ^{2}

.
Eine bijektive lineare Abbildung

f : ℂ^{2} \to ℂ^{2}

bildet jeden dieser Unterräume auf einen ebensolchen Unterraum ab.
Daher liefert jede bijektive lineare Abbildung eine Abbildung

\tilde{f} : P_{1} (ℂ) \to P_{1} (ℂ)

.
Eine so gewonnene Abbildung heißt lineare projektive Abbildung.
In Koordinaten bedeutet dies den von mir angegebenen Übergang zu
homogenen Koordinaten.

In diesem Zusammenhang siehe auch
de.wikipedia.org/wiki/Projektive_lineare_Gruppe

Gruß ermanus

Sukomaki aktiv_icon

18:53 Uhr, 14.07.2019

Gib mir ein wenig Zeit,

ich muss mir erst die Grundlagen bez. Nebenklassen,
Normalteiler und Faktorgruppe aneignen.

Dann hoffe ich die projektive Gerade besser zu verstehen :-)

Oder sind zum Verständnis andere Voraussetzungen nötig?

Gruß
Maki

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