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Möbiustransformationen

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, konforme Äquivalenz, Möbiustransformation

 
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HAlOO

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23:34 Uhr, 10.07.2019

Antworten
Kann mir jemand die Formel für die Erstellung von Möbiustransformationen aus drei Punkten erklären?
In folgendem Zusammenhang:

Ich suche eine konforme Äquivalenz von +:={zRe(z)>0}E. Ich hab mir das ganze gezeichnet und drei Punkte gewählt: z1=1,z2=i,z3=-1 und w1=0,w2=-i,w3=i. Wie finde ich nun die passende Möbiustransformation dazu?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

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23:56 Uhr, 10.07.2019

Antworten
Hallo,
hast du nicht z und w vertauscht? -1 liegt doch
garnicht in der Menge mit Re(z)>0.
Gruß ermanus
HAlOO

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08:56 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Entschuldige, ich hab vergessen zu schreiben: ich möchte zuerst eine Abbildung von E nach C+ erstellen und dann das inverse davon berechnen, dadurch bekomme ich dann nämlich meine konforme Äquivalenz
Antwort
ermanus

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11:35 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Hallo,
es ist mir zwar nicht ersichtlich, warum du erst eine
Möbiustransformation zur inversen Abbildung basteln willst
und hernach deren Umkehrtrafo.
Aber sei es so. Dann ist deine Punktezuordnung
f(1)=0,f(i)=-i,f(-1)=i zwar "akzeptabel", aber ungeschickt:
wenn man die Kreislinie im math. positiven Sinne bei 1 beginnend
durchläuft, trifft man die von dir verwendete Punkte in der
Reihenfolge 1,i,-1, d.h. i liegt zwischen 1 und -1.
Bei der von dir vorgeschlagenen Zuordnung liegt aber f(i) nicht zwischen
f(1) und f(-1). Das ist zwar nicht schlimm, aber führt zu
komplizierteren Verhältnissen.
Ich schlage vor mit f(1)=i,f(i)=0,f(-1)=-i zu arbeiten.
Da bei positivem Durchlaufen des Kreises E auf der linken
Seite liegt, sollte beim Durchlaufen der Bildgerade das Innere von f(E)
ebenfalls auf der linken Seite liegen. Daher ist die Reihenfolge
der Bildpunkte i,0,-i genau richtig.
Gruß ermanus


HAlOO

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18:39 Uhr, 11.07.2019

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Okay, wenn ich dann in die Dreipunkteformel die Sachen einsetze und vereinfache komme ich auf z+2iz+1=2wz-wi+wzi, aber wie komme ich dann auf die Möbiustransformation?
Antwort
ermanus

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19:21 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Du musst halt diese Gleichung nach w auflösen.
Abgesehen davon: ich kenner deine ominöse Dreipunkteformel nicht.
Hast du denn meine Zuordnung benutzt?
Die Möbiustrafo, die ich erhalte, wenn ich deine Gleichung nach w
auflöse, bildet 1 auf 1+i ab, kann also yauf jeden Fall nur
falsch sein ...
Gruß ermanus
HAlOO

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19:28 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Das war ja meine Frage, wie ich das Ganze dann nach w umformen kann, ich komme ab dem Punkt nicht mehr weiter...
Die Dreipunkteformel geb ich als Anhang rein
Wie berechnest du denn die Möbiustransformation aus den Punkten?

Bildschirmfoto 2019-07-11 um 19.28.03
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:19 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Also ich habe nun mal deine 3-Punkte-Formel verwendet
und lande für die von mir vorgeschlagenen Punkte bei
w-iw:2=z-1z-i:(21+i).
Nach Hochmultiplikation der Nenner bekomme ich
(w-i)(z-i)=w(z-1)(1+i).
Dies multipliziere ich alles aus, bringe dann alle Terme mit w auf die linke Seite,
alle anderen auf die rechte.
Klammere w links aus und teile durch die Klammer.
Auf diese Weise bekommt man

w=iz+1-iz+1=-z+iz+i.

Gruß ermanus
Frage beantwortet
HAlOO

HAlOO aktiv_icon

21:45 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Hab meinen Fehler gefunden, Danke!