Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Möbiustransformationen

Möbiustransformationen

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, konforme Äquivalenz, Möbiustransformation

HAlOO aktiv_icon

23:34 Uhr, 10.07.2019

Kann mir jemand die Formel für die Erstellung von Möbiustransformationen aus drei Punkten erklären?
In folgendem Zusammenhang:

Ich suche eine konforme Äquivalenz von

ℂ_{+} := {z \in ℂ ∣ R e (z) > 0} \to E

. Ich hab mir das ganze gezeichnet und drei Punkte gewählt:

z_{1} = 1, z_{2} = i, z_{3} = - 1

und

w_{1} = 0, w_{2} = - i, w_{3} = i

. Wie finde ich nun die passende Möbiustransformation dazu?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

23:56 Uhr, 10.07.2019

Hallo,
hast du nicht

z

und

w

vertauscht?

- 1

liegt doch
garnicht in der Menge mit

R e (z) > 0

.
Gruß ermanus

HAlOO aktiv_icon

08:56 Uhr, 11.07.2019

Entschuldige, ich hab vergessen zu schreiben: ich möchte zuerst eine Abbildung von E nach C+ erstellen und dann das inverse davon berechnen, dadurch bekomme ich dann nämlich meine konforme Äquivalenz

ermanus aktiv_icon

11:35 Uhr, 11.07.2019

Hallo,
es ist mir zwar nicht ersichtlich, warum du erst eine
Möbiustransformation zur inversen Abbildung basteln willst
und hernach deren Umkehrtrafo.
Aber sei es so. Dann ist deine Punktezuordnung

f (1) = 0, f (i) = - i, f (- 1) = i

zwar "akzeptabel", aber ungeschickt:
wenn man die Kreislinie im math. positiven Sinne bei 1 beginnend
durchläuft, trifft man die von dir verwendete Punkte in der
Reihenfolge

1, i, - 1

, d.h.

i

liegt zwischen

1

und

- 1

.
Bei der von dir vorgeschlagenen Zuordnung liegt aber

f (i)

nicht zwischen

f (1)

und

f (- 1)

. Das ist zwar nicht schlimm, aber führt zu
komplizierteren Verhältnissen.
Ich schlage vor mit

f (1) = i, f (i) = 0, f (- 1) = - i

zu arbeiten.
Da bei positivem Durchlaufen des Kreises

E

auf der linken
Seite liegt, sollte beim Durchlaufen der Bildgerade das Innere von

f (E)

ebenfalls auf der linken Seite liegen. Daher ist die Reihenfolge
der Bildpunkte

i, 0, - i

genau richtig.
Gruß ermanus

HAlOO aktiv_icon

18:39 Uhr, 11.07.2019

Okay, wenn ich dann in die Dreipunkteformel die Sachen einsetze und vereinfache komme ich auf z+2iz+1=2wz-wi+wzi, aber wie komme ich dann auf die Möbiustransformation?

ermanus aktiv_icon

19:21 Uhr, 11.07.2019

Du musst halt diese Gleichung nach

w

auflösen.
Abgesehen davon: ich kenner deine ominöse Dreipunkteformel nicht.
Hast du denn meine Zuordnung benutzt?
Die Möbiustrafo, die ich erhalte, wenn ich deine Gleichung nach

w

auflöse, bildet

1

auf

1 + i

ab, kann also yauf jeden Fall nur
falsch sein ...
Gruß ermanus

HAlOO aktiv_icon

19:28 Uhr, 11.07.2019

Das war ja meine Frage, wie ich das Ganze dann nach w umformen kann, ich komme ab dem Punkt nicht mehr weiter...
Die Dreipunkteformel geb ich als Anhang rein
Wie berechnest du denn die Möbiustransformation aus den Punkten?