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Möglichkeiten berechnen

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Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Kombinatorik, Möglichkeiten berechnen

 
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tobt250

tobt250 aktiv_icon

10:20 Uhr, 11.01.2019

Antworten
Guten Tag,

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Die Großwetterlage wird immer ungemütlicher. Schon wieder hat ein Sturm ziemlich viel Wald umgelegt. Förster A. hat die Aufgabe, Bäume zur Neubepflanzung zu besorgen. Es eignen sich Ahorn, Birke, Eberesche, Lärche und Wildkirsche, und von jeder Art hat er 20 Exemplare eingekauft.

i) Zunächst sollen auf einem Flächestück 8 Bäume gepflanzt werden.
Frage 1:
Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn nur interessiert, wie viele der acht Bäume von welcher Sorte sind?
Frage 2:
Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn nur interessiert, welche der eingekauften Bäume er in welcher Reihenfolge pflanzt?

Meine bisherigen Lösungsansätze:

zu F1:
Urnenmodell mit "ohne Reihenfolge" und "ohne zurücklegen"
Dementsprechend (nk) bis hierhin hatte ich keine Probleme. Mein Ansatz ist jetzt zu sagen (20k)(808-k) mit k=1,2,3,4,5,6,7,8. Allerdings wäre dies doch nur die Möglichkeiten für eine Baumsorte. Weiter bin ich hier leider nicht gekommen.
Mein zweiter Ansatz war dann zu sagen ich betrachte nur die Sorten und würde dann (85)=56 rechnen. Irgendwie verwirrt mich der Einschub "wie viele der acht Bäume".

zu F2:
Hier wiederum wird explizit "mit Reihenfolge" eingeführt. Mein Ansatz ist n!(n-k)!, allerdings bin ich mir da nicht sicher, da es zu naheliegend erscheint...

Vielen Dank schon mal für alle Vorschläge und Lösungsansätze

Grüße tobt250


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

11:28 Uhr, 11.01.2019

Antworten
Insgesamt verstehe ich den Sachverhalt so, dass Bäume gleicher Sorte als nicht unterscheidbar angesehen werden. Das sollte in die Rechnung einfließen, und zwar bei beiden Fragen 1 und 2.


Zu Frage 1:

Es wird 8mal gewählt aus 5 verfügbaren Baumsorten, und zwar "ohne Reihenfolge" aber "mit Zurücklegen". Letzteres bedeutet hier, dass von einer Baumsorte durchaus auch mehrere Exemplare in der Auswahl vorkommen dürfen - hier sogar "müssen", denn sonst könnte man ja gar nicht 8 auswählen.

Das ergibt Anzahl 5+8-18=128=495.


Frage 2 ist an sich derselbe Sachverhalt, nur dass diesmal "mit Reihenfolge" operiert wird. Die entsprechende Variationszahl ist 58=390625.


P.S.: Anzumerken ist, dass das ganze so schön klappt, weil ausreichend viele Bäume von jeder Sorte zur Verfügung stehen. Wenn etwa nicht 8, sondern 25 Bäume gepflanzt werden sollen, dann geht es nicht mehr so einfach, weil die Anzahlbeschränkung "20 pro Sorte" dann ins Kalkül einbezogen werden muss - was die Rechnung dann ziemlich verkompliziert!

tobt250

tobt250 aktiv_icon

12:47 Uhr, 11.01.2019

Antworten
Danke für deine Antwort.

Das hat mir schon mal prinzipiell weitergeholfen. Allerdings frage ich mich nun, wann darf ich diese Annahme treffen, dass die Bäume nicht unterscheidbar sind und wann darf ich von "mit zurücklegen" ausgehen, falls es nicht in der Aufgabe erwähnt wird.
Gibt es dafür irgendwelche Regeln oder Schlag/Stich/Signalwörter?

Grüße tobt250
Antwort
11engleich

11engleich

19:20 Uhr, 11.01.2019

Antworten
Hallo
"Wann darf ich (eine) Annahme treffen, ... falls es nicht in der Aufgabe erwähnt wird."
Es ist wie immer im Leben und nicht nur in der Mathematik und nicht nur in der Statistik.
Solange ein Sachverhalt nicht eindeutig erklärt ist, muss man sich und dem Kommunikationspartner klar machen, dass da noch Klärungsbedarf besteht.
Manchmal kann es sinnvoll und plausibel sein, Annahmen zu treffen. Dann sollte man sich und dem Kommunikationspartner aber auch klar und verständlich machen, dass eben eine Annahme getroffen wurde, und das Ergebnis eben auf der Prämisse dieser Annahme beruht.

Zu unserer Aufgabe hier:
zu Frage 1,
Die finde ich eigentlich ganz eindeutig.
Ich empfehle immer!: Bevor du irgendwie gleich mit Zahlen und Formeln und "mit/ohne Reihenfolge" oder "mit/ohne Zurücklegen" anfängst, mach dir erst mal klar, wie ein Ereignis aussieht.
Ein mögliches Ereignis könnte hier lauten:
Die 8 auserwählten Bäume bestehen aus
>2 Ahorns
>0 Birken
>3 Ebereschen
>1 Lärche
>2 Wildkirschen.

Wer sich das so vor Augen führt, dem wird schnell klar: Es ist völlig egal, ob der Förster
>20
> oder 50
> oder 2345
Bäume von jeder Sorte kauft. Das Ereignis ist immer das selbe. Es könnte immer lauten:
Die 8 auserwählten Bäume bestehen aus
>2 Ahorns
>0 Birken
>3 Ebereschen
>1 Lärche
>2 Wildkirschen.

Wichtig ist nur (wie von HAL9000 betont), dass von jeder Baumsorte immer ausreichend zur Verfügung stehen. (Sonst wird die Rechnung kompliziert.)
Wenn aber von jeder Baumsorte immer ausreichend zur Verfügung stehen, dann kannst du einfach
+ für jede Baumsorte eine Kugel beschriften und in die Urne werfen,
+8 mal eine Kugel (d.h. eine Baumsorte) ziehen,
+ und diese Kugel aber jedes mal wieder zurücklegen, weil die Kugel (Baumsorte) ja nochmals gezogen werden könnte.
Du siehst: "mit Zurücklegen" war der entscheidende Hinweis, den man sich so klar machen kann.


zu Frage 2:
Die fand ich ein wenig zweifelhaft formuliert.
Hier könnte man tatsächlich zweierlei Verständnisse diskutieren:

Verständnis 2a:
"...welcher der eingekauften Bäume er in welcher Reihenfolge pflanzt"
Angenommen, der Förster klebt Nummernzettel an die Bäume:
> Nummern 1 bis 20 an die Ahorns,
> Nummern 21 bis 40 an die Birken,
> Nummern 41 bis 60 an die Ebereschen,
> Nummern 61 bis 80 an die Lärchen,
> Nummern 81 bis 100 an die Wildkirschen.

Ein mögliches Ereignis könnte dann lauten:
Die auserwählte Baumkomposition besteht aus
+ der Eberesche Nr. 50 an 1. Position,
+ dem Ahorn Nr. 08 an 2. Position,
+ der Lärche Nr. 62 an 3. Position,
+ der Eberesche Nr. 60 an 4. Position,
+ der Wildkirs. Nr. 99 an 5. Position,
+ der Wildkirs. Nr. 87 an 6. Position,
+ dem Ahorn Nr. 02 an 7. Position,
+ der Eberesche Nr. 59 an 8. Position.

Du kannst ja mal übungshalber ausrechnen, wie die Antwort auf Frage 2(d.h. 2a) lautete, wenn wir die ANNAHME träfen, den Aufgabentext so zu interpretieren.


Verständnis 2b:
"...welcher der eingekauften Bäume er in welcher Reihenfolge pflanzt"
Nach ein wenig zweifeln und zurechtkauen bin auch ich zur Annahme gekommen, dass wahrscheinlich die Aufgabe eher so zu interpretieren ist, dass eigenlich nur Baumsorten gemeint sind.
Das machen wir uns wieder verständlich, indem wir ein mögliches Ereignis formulieren:
Die auserwählte Baumkomposition besteht aus
+ einer Eberesche an 1. Position,
+ einem Ahorn an 2. Position,
+ einer Lärche an 3. Position,
+ einer Eberesche an 4. Position,
+ einer Wildkirs. an 5. Position,
+ einer Wildkirs. an 6. Position,
+ einem Ahorn an 7. Position,
+ einer Eberesche an 8. Position.

Dies einmal sich klargemacht, wird auch die Lösung schnell verständlich.
5 Kugeln (mit Beschriftung der Baumsorte) in die Urne,
8 mal ziehen
jedes mal unter Beachtung der Reihenfolge mitschreiben/mitpflanzen, welche Kugel (Baumsorte) gezogen wurde,
Kugel wieder zurücklegen, weil ja eine Baumsorte wieder auftreten kann (und muss).

55555555=58 war ja schon angesprochen.


Nachbemerkung:
Die Unsicherheit bezüglich der Interpretation der Frage 2 ist ja kein Mangel deinerseits oder meinerseits. Es ist die Formulierung der Aufgabe, die etwas Zweifel hinterlässt.
In der Statistik wird schnell deutlich, dass hier an Lehrer wie Schüler, an Professoren wie Studenten, an Aufgabensteller wie an Leser deutlich höhere Anforderungen in der Präzision der Formulierung zu stellen sind, wie sonst im Leben.

Falls Interpretation 2.b) beabsichtigt war, hätte ich vielleicht formuliert, um hoffentlich eindeutiges Verständnis zu schaffen:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, auf dem Flächenstück mit 8 nebeneinander liegenden Pflanzstellen die zur Verfügung stehenden Baumsorten anzuordnen.

Frage beantwortet
tobt250

tobt250 aktiv_icon

18:33 Uhr, 13.01.2019

Antworten
Danke auch nochmal dir für deinen Beitrag.

Ich habe einfach mal frech nachgefragt und für F1 gilt der Ansatz mit (5+8-18), da wie bereits von euch angemerkt genug Bäume da sind und somit "mit zurücklegen" gilt.

Allerdings bei F2 scheint laut Aufgabensteller jeder einzelne Baum zentral zu sein. Also ohne zurücklegen aber mit Reihenfolge so dass gilt 100!(100-8)!. Begründung: Man kann die Bäume ja nicht wieder ausreißen, daher hat man beim ersten Baum 100 Möglichkeiten beim zweiten dann 99 und so weiter.

Blicke zwar immer noch nicht ganz durch aber bis zur Klausur ist noch Zeit.

Danke auf jeden Fall für die Bemühungen
Antwort
11engleich

11engleich

23:05 Uhr, 13.01.2019

Antworten
Die
100!(100-8)!
wäre die Lösung gemäß Aufgabenverständnis nach 2a).