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Monotonie, Beschränktheit von Folgen zeigen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

tompo7 aktiv_icon

10:55 Uhr, 20.10.2019

Servus Leute,

habe Probleme bei folgenden Beispielen?

A)

Gegeben ist die Folge

f_{n} = {(\frac{n + 1}{n - 1})}^{n}

es soll der Grenzwert geboldet werden!

Mein Ansatz: In solchen Fällen ist ja die Form

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} \to e^{x}

man muss also die obige Folge so umstellen, dass wir den Satz verwenden können.

Durch Probiere bin ich auf

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{2}{n})}^{n}

mit

n \to \infty \Rightarrow e^{2}

gekommen, was sich durch die Kontrolle mittels MathCad als Lösung herausgestellt hat, mein Problem ist nur, dass ich nicht erklären kann wie man auf die 2 kommt, bitte um Hilfe?

B)

Gegeben sei eine rekursiv definierte Folge

x_{n + 1} = \frac{4 x_{n} + 8}{10 - x_{n}}

und

x_{1} = 3

.

Es sind nun zu zeigen Monotonie, Beschränktheit nach oben durch

3,

die möglichen Grenzwerte und wohin gegen doe Reihe konvergiert.

Ich fange mal mit den dingen an die ich glaube zu wissen.

a)

Konvergenz

x_{n + 1} = \frac{4 x_{n} + 8}{10 - x_{n}} = \frac{4 \frac{x_{n}}{x_{n}} + \frac{8}{x_{n}}}{\frac{10}{x_{n}} - \frac{x_{n}}{x_{n}}} \to (n \to \infty) = - 4

Also

lim_{n \to \infty} x_{n + 1} = - 4

b)

Mögliche Grenzwerte

a=lim_(n->oo)x_(n)=lim_(n->oo)x_(n+1)=(4lim_(n->oo)+8)/(10-lim_(n->oo))

\Rightarrow a = \frac{4 a + 8}{10 - a} \Leftrightarrow a^{2} - 6 a + 8 = 0

a_{1,2} = 2; 4

c)

Monotie zeigen

a_{n} \geq a_{n + 1}

Mit

a_{1} = 3

wissen wir, dass

a_{n} = 3

und an somit

a_{n} \geq a_{n + 1}

gilt.

3 \geq \frac{4 x_{n} + 8}{10 - x_{n}}

Durch umstellen gelangen wir zur Ungleichung:

22 - 7 a_{n} \geq 0 \to a_{n} \geq \frac{22}{7}

Dass heißt im Intervall

[

3,22/7]ist die Folge monoton Fallend?

Im Punkt

d)

Beschränktheit komm ich auf gar kein brauchbares ergebnis.

LG.Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

11:01 Uhr, 20.10.2019

".. wie man auf die 2 kommt"

Mann macht das so

\to \frac{n + 1}{n - 1} = (n + 1) : (n - 1) = 1 + \frac{2}{n - 1} .

.

ok?

tompo7 aktiv_icon

11:03 Uhr, 20.10.2019

Alles klar, also eine Polynomdivision ohne Rest!

Dankeschön :-)

rundblick aktiv_icon

11:14 Uhr, 20.10.2019

.
zu

B :

überlege, wie das gehen soll:
wenn die möglichen Grenzwerte 2 oder 4 sind - wie kann dann

lim_{x \to \infty} x_{n + 1} = - 4

sein ?.. :-)
.

tompo7 aktiv_icon

11:24 Uhr, 20.10.2019

Hab ich mir anfangs auch gedacht, aber die Folge isg ja durch 3 nach oben Beschränlt und ist monoton fallend, also macht es eigentlich keinen Sinn dass der Gw 4 ist.

Wenn die Folge ja gegen 4 streben würde, dann wäre sie ja eigentlich Monoton steigend oder?

Außer ich habe in meiner Überlegubg einen Fehler?

rundblick aktiv_icon

11:33 Uhr, 20.10.2019

.
nochmal: du hast doch für

lim_{x \to \infty} x_{n + 1} = - 4

rausbekommen .. also MINUS

4 .

. NICHT

+ 4

und sagst dann-> die möglichen Grenzwerte sind

\to + 2

oder

+ 4

??

.

tompo7 aktiv_icon

11:36 Uhr, 20.10.2019

Ich habs schon verstanden was du meinst, ich weiß dass ich diese Werte rausbekommen habe, dann hab ich wohl beim Umformen der Gleichubg einen Fehler gemacht, schätze ich mal also beim Ausrechnen der Werte aus der quadratischen Gleichung.

Hab die Folge jetzt geplottet und, den Grenzwert mit

- 4

überprüft.

tompo7 aktiv_icon

11:36 Uhr, 20.10.2019

- 4

überprüft.

rundblick aktiv_icon

12:27 Uhr, 20.10.2019

.
"Hab die Folge jetzt geplottet ..."

wie das? - du hast doch noch keine explizite Form der Darstellung .. sondern nur die rekursive Form..

also: versuche zu zeigen, dass die rekursiv gegebene Folge mit dem Startwert

x_{1} = 3

wohl monoton fallend und nach unten beschränkt ist und den Grenzwert 2 hat.

.

tompo7 aktiv_icon

13:56 Uhr, 20.10.2019

Naja ein Plotten einer rekursiv definierten Folge ist ja trotzdem möglich, habe es mit Excel und dem Startwert

x_{1} = 3

gemacht.

Naja die Monotonie kann man mittels vollst. Induktion zeigen,in meiner Angabe steht aber, dass man sie lediglich mit einer Ungleichung lösen muss. Das habe ich ja eigentlich schon gemacht.

Ich werde vollständigkeitshalber die original Angabe reinstellen.

tompo7 aktiv_icon

14:18 Uhr, 20.10.2019

Habe jetzt eine Idee zur Beschränktheit! Beschränktheit nach oben durch 3.

\Rightarrow a_{n + 1} \leq 3

Mittels Induktion:

A (n) : n = 3

a_{n + 1} = \frac{20}{7} = 2,8 ... < 3

Somit eine wahre Aussage.

\exists n \in ℕ : a_{n + 1} \leq 3

A (n) \Rightarrow A (n + 1) :

a_{n} \leq 3

4 a_{n} + 8 \leq 20

\frac{4 a_{n} + 8}{10 - a_{n}} \leq \frac{20}{10 - a_{n}} \leq 3

a_{n + 1} \leq 3 = a_{n}

Erklärung:
Im Ind.Schritt habe ich im zu Beginn auf beiden Seiten

(\cdot 4 + 8)

multiplizier. Im zweiten Schritt habe ich dann

10 - a_{n}

auf beiden Seiten dividiert, daraus resultiert dann die Ind.Voraussetzung, dieser Ansatz wurde dann nach oben abgeschätzt!

Kann man das so stehen lassen?
Lg.

ermanus aktiv_icon

14:41 Uhr, 20.10.2019

Hallo,
ich finde es noch ein bisschen "wenig evident".
Verbesserungvorschlag:

x_{n} \leq 3 (\Rightarrow - x_{n} \geq - 3)

Liefert:

4 x_{n} + 8 \leq 4 \cdot 3 + 8 = 20

.
Für den Nenner bekommen wir:

10 - x_{n} \geq 10 - 3 = 7

, für den Bruch also

x_{n + 1} \leq \frac{20}{7} \leq 3

.

Gruß ermanus

tompo7 aktiv_icon

15:06 Uhr, 20.10.2019

Vielen Dank für deinen Verbesserungsvorschlag!

Stimmt denn mein Monotonieansatz?

LG.Thomas

ermanus aktiv_icon

15:25 Uhr, 20.10.2019

Den habe ich leider nicht verstanden ...
Wie wäre es mit:
1. Ind.anfang:

x_{2} = \frac{20}{3} \leq x_{1}

.
2. Ind.schritt:
wir zeigen:

x_{n + 1} \leq x_{n} \Rightarrow x_{n + 2} \leq x_{n + 1}

x_{n + 1} \leq x_{n} \Rightarrow

4 x_{n + 1} + 8 \leq 4 x_{n} + 8 (*)

und

10 - x_{n + 1} \geq 10 - x_{n} (* *) .

(*)

und

(* *)

\Rightarrow x_{n + 2} = \frac{4 x_{n + 1} + 8}{10 - x_{n + 1}} \leq \frac{4 x_{n} + 8}{10 - x_{n}} = x_{n + 1}

tompo7 aktiv_icon

15:44 Uhr, 20.10.2019

Okay, also mit Induktion hätt ichs auch so gemacht, in der Angabe haben sie halt gemeint ohne, aber egal, es ist so eh viel logischer!

Danke vielmals euch beiden, aber noch eine letzte Frage bzgl. des Grenzwerts, ich habe keinen konkreten Rechnungsansatz aber, ich kanns glaube ich mal so schlüssog begründen.

Ich behaupte mal das aufgrund der virhergehenden Beweise, Monotonie fallend und obere Schranke

3,

der Grenzwert eigentlich nur 2 sein kann und 4 somit wegfällt!

Das müsste schon so stimmen eg?

LG.

ledum aktiv_icon

18:28 Uhr, 20.10.2019

Hallo
wenn die Folge monoton fallend ist und nach oben beschränkt hilft dir das doch nichts für die Konvergenz denn sie kann ja beliebig klein werden , wenn sie fallend ist, brauchst du eine untere Schranke, wenn sie steigend ist eine obere.
wenn du monoton fallend und eine untere Schranke hast ist die Folge konvergent.
dann konvergiert

x_{n}

und

x_{n + 1}

gegen denselben Grenzwert

g

und es gilt dann

g = \frac{4 g + 8}{10 - g}

daraus

g

.
also ist bisher noch was faul mit deiner nur oberen Grenze.
noch zur ersten Aufgabe

\frac{n + 1}{n - 1} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n}} \to \frac{e^{1}}{e^{- 1}}

ist besser als was

s

. schrieb denn das war ja nicht

1 + \frac{2}{n}

Gruß ledum

tompo7 aktiv_icon

18:32 Uhr, 20.10.2019

Hallo Ledum,

danke für deinen Einwand, die obere Schranke hab ich der Angabe entnommen (siehe Bild).

So wie du das jetzt aufgeführt hast, hab ichs oben schonmal gemacht, es kommen

+ 2

und

+ 4,

als Grenzwerte in Frage. Die Frage ist nun, welcher der beiden der richtige ist. Wenn einer Existiert und monotonie bzw. Beschränktheit gilt so ist sie ja konvergent.

Bitte Hilf mir auf die Sprünge?

LG.Thomas :-)

tompo7 aktiv_icon

18:33 Uhr, 20.10.2019

Also noch einmal von vorne Ledum du hattest Recht die Folge ist natürloch nicht durch 3 Beschdänkt! Ich habe mich verlesen, es macht zu dem wie du erleutert hast, wenig Sinn.

Es kann nur 2 oder 4 die Schranke sein, dass ist wsl zu überprüfen, aber wie würde man das angehen?

Ich habe gerade keinen Plan mehr?

ledum aktiv_icon

23:41 Uhr, 20.10.2019

Hallo
du hast nachgewiesen die Folge ist monoton fallend, (es fehlt der Beweis, dass sie nach unten beschränkt ist) dann kann 4 nicht GW sein, da der größte Wert

a_{1} = 3

ist.
Gruß ledum

tompo7 aktiv_icon

06:42 Uhr, 22.10.2019

Stimmt! Danke

HAL9000

09:36 Uhr, 22.10.2019

Was sehr häufig die Terme und damit generell die Betrachtungen bei solchen rekursiv definierten Folgen vereinfacht: Eine Summanden-Abtrennung des mutmaßlichen Grenzwertes

g

von der Folge, so dass für die Restfolge

y_{n} := x_{n} - g

"nur" noch die Nullfolgeneigenschaft nachgewiesen werden muss.

Konkret bedeutet das bei B) hier

y_{n} = x_{n} - 2

. Setzt man

x_{n} = y_{n} + 2

in die Iterationsgleichung ein, so bekommt man

y_{n + 1} = \frac{4 (y_{n} + 2) + 8}{10 - (y_{n} + 2)} - 2 = \frac{4 y_{n} + 16}{8 - y_{n}} - 2 = \frac{6}{8 - y_{n}} \cdot y_{n} (*)

.

Damit folgt aus

0 < y_{n} \leq 1

sofort

0 < \frac{6}{8 - y_{n}} \leq \frac{6}{7} < 1

und somit auch

0 < y_{n + 1} < y_{n} \leq 1

, diese Argumentationskette ist Basis eines Induktionsschritts für einen simultanen Beweis von Beschränktheit und Monotonie von Folge

(y_{n})

. Das

\frac{6}{8 - y_{n}} \leq \frac{6}{7}

erlaubt darüber hinaus sogar eine Abschätzung, wie schnell

(y_{n})

gegen Null konvergiert, denn aus (*) folgt damit

y_{n + 1} \leq \frac{6}{7} y_{n}

und somit

0 < y_{n} \leq {(\frac{6}{7})}^{n - 1} \cdot y_{1} = {(\frac{6}{7})}^{n - 1}

,

d.h.

(y_{n})

kann durch eine geometrische Nullfolge nach oben abgeschätzt werden.

P.S.: Man könnte das ganze auch so abfackeln: Substitution

x_{n} = 2 + \frac{2}{2 z_{n} + 1} = \frac{4 z_{n} + 4}{2 z_{n} + 1}

bzw. umgekehrt

z_{n} = \frac{4 - x_{n}}{2 x_{n} - 4}

überführt die Iterationsgleichung in

z_{n + 1} = \frac{4}{3} z_{n}

, d.h., eine geometrische Folge mit Startwert

z_{1} = \frac{1}{2}

, es folgt

z_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{4}{3})}^{n - 1}

und damit die explizite Dastellung

x_{n} = 2 + \frac{2}{1 + {(\frac{4}{3})}^{n - 1}}

der Ausgangsfolge, welcher man die Konvergenz gegen 2 unmittelbar ansieht. Man muss eben nur auf die Substitution kommen. :-)

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