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Monotonie, Beschränktheit von Folgen zeigen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

 
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tompo7

tompo7 aktiv_icon

10:55 Uhr, 20.10.2019

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Servus Leute,

habe Probleme bei folgenden Beispielen?

A) Gegeben ist die Folge fn=(n+1n-1)n es soll der Grenzwert geboldet werden!

Mein Ansatz: In solchen Fällen ist ja die Form limn(1+xn)nex man muss also die obige Folge so umstellen, dass wir den Satz verwenden können.

Durch Probiere bin ich auf limn(1+2n)n mit ne2 gekommen, was sich durch die Kontrolle mittels MathCad als Lösung herausgestellt hat, mein Problem ist nur, dass ich nicht erklären kann wie man auf die 2 kommt, bitte um Hilfe?

B) Gegeben sei eine rekursiv definierte Folge xn+1=4xn+810-xn und x1=3.

Es sind nun zu zeigen Monotonie, Beschränktheit nach oben durch 3, die möglichen Grenzwerte und wohin gegen doe Reihe konvergiert.

Ich fange mal mit den dingen an die ich glaube zu wissen.

a) Konvergenz

xn+1=4xn+810-xn=4xnxn+8xn10xn-xnxn(n)=-4

Also limnxn+1=-4

b) Mögliche Grenzwerte

a=lim_(n->oo)x_(n)=lim_(n->oo)x_(n+1)=(4lim_(n->oo)+8)/(10-lim_(n->oo))

a=4a+810-aa2-6a+8=0
a1,2=2;4

c) Monotie zeigen

anan+1

Mit a1=3 wissen wir, dass an=3 und an somit anan+1 gilt.

34xn+810-xn
Durch umstellen gelangen wir zur Ungleichung:

22-7an0an227

Dass heißt im Intervall[3,22/7]ist die Folge monoton Fallend?

Im Punkt d) Beschränktheit komm ich auf gar kein brauchbares ergebnis.

LG.Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
rundblick

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11:01 Uhr, 20.10.2019

Antworten

".. wie man auf die 2 kommt"

Mann macht das so n+1n-1=(n+1):(n-1)=1+2n-1..

ok?
tompo7

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11:03 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Alles klar, also eine Polynomdivision ohne Rest!

Dankeschön :-)
Antwort
rundblick

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11:14 Uhr, 20.10.2019

Antworten

.
zu B:
überlege, wie das gehen soll:
wenn die möglichen Grenzwerte 2 oder 4 sind - wie kann dann limxxn+1=-4 sein ?.. :-)
.
tompo7

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11:24 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Hab ich mir anfangs auch gedacht, aber die Folge isg ja durch 3 nach oben Beschränlt und ist monoton fallend, also macht es eigentlich keinen Sinn dass der Gw 4 ist.

Wenn die Folge ja gegen 4 streben würde, dann wäre sie ja eigentlich Monoton steigend oder?

Außer ich habe in meiner Überlegubg einen Fehler?


Antwort
rundblick

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11:33 Uhr, 20.10.2019

Antworten

.
nochmal: du hast doch für limxxn+1=-4 rausbekommen .. also MINUS 4.. NICHT +4

und sagst dann-> die möglichen Grenzwerte sind +2 oder +4 ??

.
tompo7

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11:36 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Ich habs schon verstanden was du meinst, ich weiß dass ich diese Werte rausbekommen habe, dann hab ich wohl beim Umformen der Gleichubg einen Fehler gemacht, schätze ich mal also beim Ausrechnen der Werte aus der quadratischen Gleichung.

Hab die Folge jetzt geplottet und, den Grenzwert mit -4 überprüft.
tompo7

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11:36 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Ich habs schon verstanden was du meinst, ich weiß dass ich diese Werte rausbekommen habe, dann hab ich wohl beim Umformen der Gleichubg einen Fehler gemacht, schätze ich mal also beim Ausrechnen der Werte aus der quadratischen Gleichung.

Hab die Folge jetzt geplottet und, den Grenzwert mit -4 überprüft.
Antwort
rundblick

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12:27 Uhr, 20.10.2019

Antworten

.
"Hab die Folge jetzt geplottet ..."

wie das? - du hast doch noch keine explizite Form der Darstellung .. sondern nur die rekursive Form..

also: versuche zu zeigen, dass die rekursiv gegebene Folge mit dem Startwert x1=3
wohl monoton fallend und nach unten beschränkt ist und den Grenzwert 2 hat.

.

tompo7

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13:56 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Naja ein Plotten einer rekursiv definierten Folge ist ja trotzdem möglich, habe es mit Excel und dem Startwert x1=3 gemacht.

Naja die Monotonie kann man mittels vollst. Induktion zeigen,in meiner Angabe steht aber, dass man sie lediglich mit einer Ungleichung lösen muss. Das habe ich ja eigentlich schon gemacht.

Ich werde vollständigkeitshalber die original Angabe reinstellen.



Screenshot_20191020-135427_Drive
tompo7

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14:18 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Habe jetzt eine Idee zur Beschränktheit! Beschränktheit nach oben durch 3.

an+13

Mittels Induktion:

A(n):n=3
an+1=207=2,8...<3
Somit eine wahre Aussage.

n:an+13

A(n)A(n+1):

an3
4an+820

4an+810-an2010-an3

an+13=an

Erklärung:
Im Ind.Schritt habe ich im zu Beginn auf beiden Seiten (4+8) multiplizier. Im zweiten Schritt habe ich dann 10-an auf beiden Seiten dividiert, daraus resultiert dann die Ind.Voraussetzung, dieser Ansatz wurde dann nach oben abgeschätzt!

Kann man das so stehen lassen?
Lg.


Antwort
ermanus

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14:41 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Hallo,
ich finde es noch ein bisschen "wenig evident".
Verbesserungvorschlag:
xn3(-xn-3)
Liefert:
4xn+843+8=20.
Für den Nenner bekommen wir:
10-xn10-3=7, für den Bruch also
xn+12073.

Gruß ermanus
tompo7

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15:06 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Vielen Dank für deinen Verbesserungsvorschlag!

Stimmt denn mein Monotonieansatz?

LG.Thomas
Antwort
ermanus

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15:25 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Den habe ich leider nicht verstanden ...
Wie wäre es mit:
1. Ind.anfang: x2=203x1.
2. Ind.schritt:
wir zeigen: xn+1xnxn+2xn+1.
xn+1xn
4xn+1+84xn+8(*) und10-xn+110-xn(**).
(*) und (**) xn+2=4xn+1+810-xn+14xn+810-xn=xn+1.

tompo7

tompo7 aktiv_icon

15:44 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Okay, also mit Induktion hätt ichs auch so gemacht, in der Angabe haben sie halt gemeint ohne, aber egal, es ist so eh viel logischer!

Danke vielmals euch beiden, aber noch eine letzte Frage bzgl. des Grenzwerts, ich habe keinen konkreten Rechnungsansatz aber, ich kanns glaube ich mal so schlüssog begründen.

Ich behaupte mal das aufgrund der virhergehenden Beweise, Monotonie fallend und obere Schranke 3, der Grenzwert eigentlich nur 2 sein kann und 4 somit wegfällt!

Das müsste schon so stimmen eg?

LG.
Antwort
ledum

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18:28 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Hallo
wenn die Folge monoton fallend ist und nach oben beschränkt hilft dir das doch nichts für die Konvergenz denn sie kann ja beliebig klein werden , wenn sie fallend ist, brauchst du eine untere Schranke, wenn sie steigend ist eine obere.
wenn du monoton fallend und eine untere Schranke hast ist die Folge konvergent.
dann konvergiert xn und xn+1 gegen denselben Grenzwert g und es gilt dann g=4g+810-g daraus g.
also ist bisher noch was faul mit deiner nur oberen Grenze.
noch zur ersten Aufgabe n+1n-1=1+1n1-1ne1e-1 ist besser als was s. schrieb denn das war ja nicht 1+2n
Gruß ledum
tompo7

tompo7 aktiv_icon

18:32 Uhr, 20.10.2019

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Hallo Ledum,

danke für deinen Einwand, die obere Schranke hab ich der Angabe entnommen (siehe Bild).

So wie du das jetzt aufgeführt hast, hab ichs oben schonmal gemacht, es kommen +2 und +4, als Grenzwerte in Frage. Die Frage ist nun, welcher der beiden der richtige ist. Wenn einer Existiert und monotonie bzw. Beschränktheit gilt so ist sie ja konvergent.

Bitte Hilf mir auf die Sprünge?

LG.Thomas :-)
tompo7

tompo7 aktiv_icon

18:33 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Also noch einmal von vorne Ledum du hattest Recht die Folge ist natürloch nicht durch 3 Beschdänkt! Ich habe mich verlesen, es macht zu dem wie du erleutert hast, wenig Sinn.

Es kann nur 2 oder 4 die Schranke sein, dass ist wsl zu überprüfen, aber wie würde man das angehen?

Ich habe gerade keinen Plan mehr?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

23:41 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Hallo
du hast nachgewiesen die Folge ist monoton fallend, (es fehlt der Beweis, dass sie nach unten beschränkt ist) dann kann 4 nicht GW sein, da der größte Wert a1=3 ist.
Gruß ledum
Frage beantwortet
tompo7

tompo7 aktiv_icon

06:42 Uhr, 22.10.2019

Antworten
Stimmt! Danke
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:36 Uhr, 22.10.2019

Antworten
Was sehr häufig die Terme und damit generell die Betrachtungen bei solchen rekursiv definierten Folgen vereinfacht: Eine Summanden-Abtrennung des mutmaßlichen Grenzwertes g von der Folge, so dass für die Restfolge yn:=xn-g "nur" noch die Nullfolgeneigenschaft nachgewiesen werden muss.

Konkret bedeutet das bei B) hier yn=xn-2. Setzt man xn=yn+2 in die Iterationsgleichung ein, so bekommt man

yn+1=4(yn+2)+810-(yn+2)-2=4yn+168-yn-2=68-ynyn(*) .

Damit folgt aus 0<yn1 sofort 0<68-yn67<1 und somit auch 0<yn+1<yn1, diese Argumentationskette ist Basis eines Induktionsschritts für einen simultanen Beweis von Beschränktheit und Monotonie von Folge (yn). Das 68-yn67 erlaubt darüber hinaus sogar eine Abschätzung, wie schnell (yn) gegen Null konvergiert, denn aus (*) folgt damit yn+167yn und somit

0<yn(67)n-1y1=(67)n-1,

d.h. (yn) kann durch eine geometrische Nullfolge nach oben abgeschätzt werden.


P.S.: Man könnte das ganze auch so abfackeln: Substitution xn=2+22zn+1=4zn+42zn+1 bzw. umgekehrt zn=4-xn2xn-4 überführt die Iterationsgleichung in zn+1=43zn, d.h., eine geometrische Folge mit Startwert z1=12, es folgt zn=12(43)n-1 und damit die explizite Dastellung

xn=2+21+(43)n-1

der Ausgangsfolge, welcher man die Konvergenz gegen 2 unmittelbar ansieht. Man muss eben nur auf die Substitution kommen. :-)