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Monotonieintervalle einer Funktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Monotonieintervall

kkayy aktiv_icon

12:00 Uhr, 18.10.2020

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die folgende Funktion strikt monoton wachsend und die Intervalle, in denen die strikt monoton fallend ist.

f (x) = \frac{1}{32} \cdot x^{4} - \frac{3}{4} \cdot x^{2} + \frac{9}{2}

Ich weiss, dass man als erstes ja

f' (x)

mit

lim

berechnen muss, aber mir ist nicht ganz klar welchen Schnittpunkt ich für die Berechnung nehmen soll? Kann mir da jemand helfen, wie man solche Aufgaben löst?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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12:11 Uhr, 18.10.2020

Du musst allgemein die Ableitung

f^{ʹ} (x)

berechen, in allen Punkten, also als Funktion.
Und dann Bereiche bestimmen, wo sie

< 0

ist (dort fällt

f

monoton) und wo sie

> 0

(dort steigt

f

monoton).
Es kommt in diesem Fall auf eine kubische Ungleichung des Typs

a x^{3} + b x^{2} + c x + d > 0

bzw.

< 0

. Hoffentlich weißt du, wie man damit umgeht.

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12:13 Uhr, 18.10.2020

Alternativ kann man hier ganz ohne Ableitung auskommen, denn

f (x) = 0.5 (x^{2} / 4 - 3)^{2}

Respon

12:13 Uhr, 18.10.2020

"tilt"

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12:26 Uhr, 18.10.2020

Der Weg ohne Ableitung ist übrigens deutlich einfacher.

kkayy aktiv_icon

21:47 Uhr, 18.10.2020

Ich habe die Funktion folgendermaßen abgeleitet

f' (x) = \frac{3}{32} \cdot x^{3} - \frac{6}{4} \cdot x + \frac{9}{2}

und die zweite Ableitung

f'' (x) = \frac{3}{8} \cdot x^{2} - \frac{3}{2}

Die zwei Nullstellen sind dann jeweils

x 1 = - 2, x 2 = 2

Woher weiss ich nun in welchen Bereichen die Funktion steigen oder fallend ist? Leider ist bei mir die Schulmathe etwas länger her und weiss gar nicht mehr wie das geht.

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21:52 Uhr, 18.10.2020

Steigend, wo

f^{ʹ} (x) > 0

. Fallend wo

f^{ʹ} (x) < 0

.
Du musst diese Ungleichungen lösen, wenn du diesen Weg gehst.
Das ist aber nicht der beste Weg, sieh meinen Hinweis.
2. Ableitung brauchst du nicht.

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21:56 Uhr, 18.10.2020

Deine Ableitung ist übrigens falsch. Richtig ist

(x^{3} - 12 x) / 8

kkayy aktiv_icon

10:04 Uhr, 19.10.2020

Ach ja jetzt hab ich die richtig also

f' (x) = \frac{1}{8} \cdot (x^{3} - 12 \cdot x)

Die Nullstellen sind

0,

+2√3, -2√3
Also die Monotonientervalle:

f' (x) < 0,

wenn

x

(-unendlich, -2√3) strikt monoton fallend

f' (x) > 0,

wenn

x

(-2√3,0) strikt monoton steigend

f' (x) < 0,

wenn

x (0,

2√3) strikt monoton fallend

f' (x) > 0,

wenn

x

(2√3, +unendlich) strikt monoton steigend

Mathe45

10:14 Uhr, 19.10.2020

Wie hast du diese Intervalle erhalten ?
So ganz ohne Rechnung ?

Mathe45

10:18 Uhr, 19.10.2020

Aber offensichtlich will man das nicht verraten !

kkayy aktiv_icon

11:15 Uhr, 19.10.2020

Ich habe eine Werttabelle aufgestellt, und Werte zwischen den Schnittpunkten eingesetzt. Ich weiss eben nicht wie man das rechnerisch macht, sonst würde ich ja hier nicht nach Hilfe fragen :-)

Mathe45

11:43 Uhr, 19.10.2020

Du hast oben Hinweise erhalten, wie man es schnell und einfach machen kann.

f (x) = 0,5 \cdot {(\frac{x^{2}}{4} - 3)}^{2}

\Rightarrow

f (x) \geq 0 \forall x \in ℝ

Der Graph der Funktion ist symmetrisch bezüglich der

y -

Achse

Es gibt nur zwei reelle Nullstellen

(- 2 \cdot \sqrt{3} | 0)

und

(2 \cdot \sqrt{3} | 0)

f (x) \geq 0 \Rightarrow

die Nullstellen sind auch die Minima.
Wegen der Symmetrie muss das Maximum bei

x = 0

liegen.
Daraus ergeben sich sofort die jeweiligen Intervalle mit ihrem Monotonieverhalten.

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