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Münzenstapelspiel
Schüler Gymnasium, 7. Klassenstufe
Aufstellen von Gleichungen
Tags: Gleichungen
 
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Hallo, habe diese Aufgabe aus Versehen als Frage und Antwort eingestellt. Vielleicht habe ich deswegen keine Antwort erhalten. Ich habe aber immer noch das Problem, dass ich für die nachfolgende Aufgabe keinen Lösungsweg ansetzen kann. Für Eure Hilfe wäre ich sehr dankbar. Aufgabe: Für ein Münzenstapelspiel mit drei Stapeln von Münzen gelten die folgenden Regeln: Zwei Spieler nehmen abwechselnd von einem Stapel eine, mehrere oder alle Münzen. Wer die letzte von allen Münzen nimmt, hat gewonnen. Die Spielstrategie besteht darin, den Gegenspieler in eine Verluststellung zu bringen, von der ausgehend dieser auch bei optimalem Spiel nicht gewinnen kann. Wir beziehen uns in allen folgenden Teilaufgaben auf den am Zug befindlichen Spieler. a) Untersuche, ob (0;6;6) für den am Zug befindlichen Spieler eine Verluststellung oder eine Gewinnstellung ist (von einer Gewinnstellung aus gewinnt der Spieler bei optimalem Spiel). b) Untersuche, für welche natürlichen Zahlen n die Stellung (0;n;n) eine Verluststellung ist. c) Gib eine Verluststellung und eine Gewinnstellung an, bei denen auf einem Stapel genau eine Münze und auf den beiden anderen Stapeln mehr als eine Münze liegen. Begründe beide Angaben. |
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Hallo Munichbb, das Problem ist nicht so ohne weiteres zu lösen. Da muss man sich schon mal hinsetzen und es versuchsweise durchspielen und darauf achten, welche Gesetzmäßigkeiten sich ergeben. Vielleicht hast du das ja schon mal gemacht und könntest uns hier deine ersten Erkenntnisse vortragen. Dann könnten wir darauf aufbauen. Grüße |
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Hallo Mathemaus, genau das ist aber das Problem; ich habe schon 'zig Möglichkeiten durchgespielt. Aber um die konkreten Fragen mit einer befriedigenden Lösung (sprich eben Gesetzmäßigkeit) beantworten zu können, auf den Trichter bin ich noch nicht gekommen. Gruß Munichbb |
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Hallo nochmal an alle, habe bei der Aufgabe einen wichtigen Satz vergessen: Bei der Aufgabenstellung ist noch mit angegeben: "Eine Spielstellung wird durch ein Zahlentripel (x; y; z) beschrieben, wobei x, y und z die Anzahl der München auf den drei Stapeln bezeichnen." (ist als 2. Absatz im Text) Sorry |
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Hallo, ich gehe mal davon aus, daß die Gegenspielerin/der Gegspieler (hat den zweiten Zug; kurz G genannt) genauso über die optimale Strategie bescheid weiß wie ich, der Spieler (hat den ersten Zug; kurz S genannt). Unter dieser Voraussetzung folgen die Lösungen: a) Es handelt sich um eine Verluststellung für S! Egal wie viele Münzen S von einem der beiden gleichgroßen Stapel entnimmt (der dritte ist ja von Beginn an leer!), die optimale Strategie von G ist, die selbe Anzahl von Münzen von dem anderen Stapel zu entnehmen. Da G diese Strategie kennt, wird G diese auch anwenden. D.h. daß S immer vor 2 Stapeln sitzt, die die selbe Anzahl von Münzen haben, so lange S nicht einen der beiden Stapel komplett abbaut (da G nur so viele Münzen vom anderen Stapel nimmt, wie S von dem einen Stapel entnommen hat, wird G niemals als erstes einen Stapel komplett abbauen!). Wenn aber S einen Stapel komplett abgebaut hat, dann baut G den anderen Stapel ebenfalls komplett ab und hat die letzte von allen Münzen und damit gewonnen. Da G mit der Kenntnis der optimalen Strategie immer gewinnt, verliert S, egal wie S sich verhält, und hat damit eine Verluststellung. b) Die Aufgabe a) ist ohne die Nennung irgendwelcher Münzanzahlen gelöst worden. Alleinige Voraussetzung war, daß ein Stapel keine Münzen enthält und die beiden anderen Stapel gleich groß sind und das ist für die Stellung (0;n;n) gegeben. Damit handelt es sich hier ebenfalls immer um eine Verluststellung. Die Antwort auf die Frage muß also lauten: Für alle n ist die Stellung (0;n;n) eine Verluststellung. c) Wir wissen, daß eine Verluststellung für den am Zug befindlichen Spieler vorliegt, sobald die Stellung (0,n,n) ist. Will S aus der Vorgabestellung (1;m;n) eine Gewinnstellung für sich machen, muß das Ergebnis des ersten Zuges eine Verluststellung für G ergeben, z.B. (0;n;n). Diese Stellung kann S nur erreichen, wenn die einzelne Münze genommen wird (m und n sind ja nach Voraussetzung größer als 1) und wenn m=n ist. D.h. Die Stellung (1;n;n) ist für S eine Gewinnstellung. Eine Verluststellung für S kann also nur dann vorliegen, wenn m und n unterschiedlich sind! Ist das dann immer eine Verluststellung? NEIN! Da S sich ja optimal verhält, wird S niemals (es sei denn es ist nichts anderes möglich, weil es eine Verluststellung ist) - die einzelne Münze nehmen, denn dann macht G die beiden unterschiedlich großen Stapel gleichgroß und S bekommt die Verluststellung (0;n;n) zurück. - einen der beiden größeren Stapel komplett nehmen, denn dann nimmt G von dem anderen größeren Stapel alle Münzen bis auf eine und S bekommt die Verluststellung (1;1;0) zurück. - die beiden größeren Stapel gleichgroß machen, denn dann nimmt G die einzelne Münze und S bekommt die Verluststellung (0;n;n) zurück. - einen der größeren Stapel bis auf eine Münze verkleinern, denn dann nimmt G von dem anderen größeren Stapel alle Münzen und S bekommt die Verluststellung (1;1;0) zurück. Und schon haben wir eine Verluststellung ermittelt! Eine Stellung, bei der die größeren Stapel unterschiedlich groß sind und S gezwungen ist, die größeren Stapel gleichgroß zu machen oder bis auf eine Münze alle Münzen eines der größeren Stapel nehmen zu müssen oder den gesamten Stapel nehmen zu müssen oder die einzelne Münze zu nehmen. Für die beiden größeren Stapel darf es also nur maximal 3 Möglichkeiten geben, Münzen zu entnehmen. Da das für beide Stapel gilt, gilt dies insbesondere für den größeren Stapel. Maximal 3 Möglichkeiten heißt aber maximal 3 Münzen. Wenn der größere Stapel maximal 3 Münzen enthält, dann enthält aber der andere größere Stapel maximal 2 Münzen, aber mehr als 1 Münze, also genau 2 Münzen. Eine Verluststellung ist also (1;2;3)! Beweis: - S nimmt die einzelne Münze, neue Stellung (0;2;3); G erzeugt eine Verluststellung für S, (0;2;2) - S nimmt eine der Münzen vom 2-er Stapel, (1;1;3); G erzeugt eine Verluststellung für S, (1;1;0) - S nimmt alle Münzen vom 2-er Stapel, (1;0;3); G erzeugt eine Verluststellung für S, (1;0;1) - S nimmt eine der Münzen vom 3-er Stapel, (1;2;2); G erzeugt eine Verluststellung für S, (0;2;2) - S nimmt zwei Münzen vom 3-er Stapel, (1;2;1); G erzeugt eine Verluststellung für S, (1;0;1) - S nimmt alle Münzen vom 3-er Stapel, (1;2;0); G erzeugt eine Verluststellung für S, (1;1;0) Egal, was S auch versucht, G gewinnt immer, damit ist (1;2;3) eine Verluststellung für S. |
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Hallo m-at-he, einfach genial, was für präzise Antworten Sie ins Forum stellen. Nochmals vielen Dank. munichbb |
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Mich würd mal interessierten, ob das wirklich ne Aufgabe für die 7. Klasse ist?! |
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Hallo Immortal, leider ja!! Meine Eltern fallen auch jedesmal rückwärts, wenn sie diese Aufgabenstellungen sehen. Musst mal ins G8 in Bayern kommen, da werden die Kleinen ab der 5. Klasse so gefordert, gestresst und durch den Stoff gejagt, als wenn sie in der Oberstufe wären. Wir hatten in der 5. Klasse Aufgaben in Mathe, da hat unser Lehrer gesagt, die wären früher in der 12. Klasse drangewesen. Wir haben ja auch z.B. 3x in der Woche Nachmittagsunterricht, um den ganzen Stoff unterzubringen. Nun gut, da müssen wir hier in Bayern alle durch!!
Gruß munichbb
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