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Münzspiel,erwartete Spieldauer

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Stoppzeit

 
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Susali1

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11:03 Uhr, 24.01.2014

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Hallo,

kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Wäre Super.

Jemand hat ein Startkapital x und spielt ein faires Münzwürfspiel. Zeigt die Münze Zahl, gewinnt er 1 €, zeigt sie Kopf, verliert er 1€. Der Spieler möchte aufhören wenn er insgesamt b € hat. Er muss aufhören, wenn er nur noch den Betrag a hat.
es gilt a<x<b sind ganze Zahlen. Die Wahrscheilichkeit beim Spiel Kopf zu erhalten liegt bei p. Xn sei das Ergebnis des n-ten Wurfs und Sn:=x+X1+...+Xn der Kapitalstand nach n runden. Seien zwei Zufallsvariablen wie folgt definiert:
Ta:=min(n∈ℕ∣Sn=a) ist die Zeit zum Ruin und Tb:=min(n∈ℕ∣Sn=b) die Zeit zum Ausstieg mit Gewinn.

T:=Ta∧Tb die Zeit, bei der Feststeht ob der Spieler als Gewinner oder Verlierer aufhört.
Es gilt für p≠12 die Ruinwahrscheinlichkeit

rx:=Px{T=Ta}=zx-zaza-zb
mit z=(1-p)/p .

a) warum ist t<∞ fast sicher?
b) Berechne die erwartete Spieldauer E[t]



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