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Zufallsvariablen

Tags: Grenzwertsatz, Zufallsvariablen

Fisch18 aktiv_icon

16:58 Uhr, 08.01.2025

Hallo allerseits,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe. Eine faire Münze wird wiederholt geworfen, bei ”Kopf“ gewinnen wir einen Euro und bei ”Zahl“ verlieren wir einen Euro. Es bezeichne $S_{n}$ unseren Gewinn/Verlust nach $n$ Wüfen.

a) Zeige dass $lim_{n \to \infty} ℙ (S_{n} > \sqrt{n} \log (n)) = 0$ und $lim_{n \to \infty} ℙ (∣ S_{n} ∣ > \frac{\sqrt{n}}{\log (n)}) = 1$

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in etwa, dass wir nach 10000 Würfen weniger als 50 Euro verloren haben?

Ich habe die Vermutung dass man den Satz von Moivre Laplace verwenden soll, aber wie genau bin ich mir nicht sicher.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

22:48 Uhr, 08.01.2025

Hallo
zu $b)$
Ich würde wagen, mit Normalverteilung anzunähern.
Dann -
$>$ wie groß ist der Mittelwert?
$>$ wie groß ist die Standardabweichung?

HAL9000

10:40 Uhr, 09.01.2025

Bei a) kann man zum Beweis des ersten Grenzwertes auch mit der Tschebyscheffschen Ungleichung arbeiten:

Es ist $S_{n} = 2 X_{n} - n$ mit binomialverteiltem $X_{n} \sim B (n, \frac{1}{2})$ , d.h. aus dem sich daraus ergebenden $E (X_{n}) = \frac{n}{2}$ und $V (X_{n}) = \frac{n}{4}$ kann man folgern $E (S_{n}) = 0$ sowie $V (S_{n}) = n$ . Tschebyscheff sagt nun

$P (∣ S_{n} - E (S_{n}) ∣ \geq ε) \leq \frac{V (S_{n})}{ε^{2}}$ , d.h. $P (∣ S_{n} ∣ \geq ε) \leq \frac{n}{ε^{2}}$ .

Setzen wir nun $ε = \sqrt{n} \log (n)$ ein, so ergibt sich

$P (∣ S_{n} ∣ \geq \sqrt{n} \log (n)) \leq \frac{1}{{(\log (n))}^{2}}$ .

Wegen

$P (S_{n} > \sqrt{n} \log (n)) \leq P (S_{n} \geq \sqrt{n} \log (n)) \leq P (∣ S_{n} ∣ \geq \sqrt{n} \log (n))$

gilt damit natürlich auch

$P (S_{n} > \sqrt{n} \log (n)) \leq \frac{1}{{(\log (n))}^{2}}$ ,

und der Term rechts konvergiert für $n \to \infty$ gegen Null. Für den Beweis des zweiten Grenzwertes $lim_{n \to \infty} P (∣ S_{n} ∣ > \frac{\sqrt{n}}{\log (n)}) = 1$ taugt Tschebyscheff selbstredend nicht, da muss wohl (wie angesprochen) Moivre-Laplace ran. Letzteres bedeutet, dass für die $S_{n}$ zugeordnete standardisierte Größe $Z_{n} = \frac{S_{n} - E (S_{n})}{\sqrt{V (S_{n})}} = \frac{S_{n}}{\sqrt{n}}$ der Grenzwert $lim_{n \to \infty} P (Z_{n} \leq t) = Φ (t)$ für alle reellen $t$ gilt.

Fisch18 aktiv_icon

12:35 Uhr, 09.01.2025

Danke für die Antwort.

HAL9000

16:32 Uhr, 10.01.2025

Klar, wie der Nachweis des anderen Grenzwerts klappt (dann mit Moivre-Laplace)?

Fisch18 aktiv_icon

17:23 Uhr, 10.01.2025

Ich versuche gerade den zweiten Grenzwert zu zeigen, aber ich verstehe nícht wie man da rangehen soll.

HAL9000

18:31 Uhr, 10.01.2025

Mit Moivre-Laplace bekommt man für festes $t > 0$ die Abschätzung

$lim_{n \to \infty} P (∣ Z_{n} ∣ \leq t) = Φ (t) - Φ (- t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- t}^{t} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x \leq \frac{2 t}{\sqrt{2 π}}$ ,

d.h. bei Vorgabe eines $ε > 0$ gilt bei Wahl von $t = \frac{\sqrt{2 π}}{4} ε$ die Abschätzung $lim_{n \to \infty} P (∣ Z_{n} ∣ \leq t) \leq \frac{ε}{2}$ ,

und damit gibt es auch ein $N_{1}$ , so dass für alle $n \geq N_{1}$ dann $P (∣ Z_{n} ∣ \leq t) < ε$ für alle $n \geq N_{1}$ gilt.

Damit sind wir schon fast am Ziel: Was wir wollen ist eine Abschätzung

$P (∣ S_{n} ∣ \leq \frac{\sqrt{n}}{\log (n)}) = P (∣ Z_{n} ∣ \leq \frac{1}{\log (n)}) \overset{?}{\leq} P (∣ Z_{n} ∣ \leq t) < ε (*)$ ,

und das fehlende Puzzlestück $\overset{?}{\leq}$ ist erfüllt, sofern

$\frac{1}{\log (n)} \leq t = \frac{\sqrt{2 π}}{4} ε$

gilt, umgeformt also für $n \geq \exp (\frac{4}{\sqrt{2 π} ε}) = : N_{2}$ . Insgesamt gilt also (*) bzw. daraus abgeleitet

$P (∣ S_{n} ∣ > \frac{\sqrt{n}}{\log (n)}) > 1 - ε$

für alle $n \geq max {N_{1}, N_{2}}$ . Da man diese Betrachtungen für alle $ε > 0$ anstellen kann, folgt $lim_{n \to \infty} P (∣ S_{n} ∣ > \frac{\sqrt{n}}{\log (n)}) = 1$ .

P.S.: Das ganze wäre ein Stück einfacher geraten, wenn man die gleichmäßige Konvergenz von $lim_{n \to \infty} P (Z_{n} \leq t) = Φ (t)$ bzgl. $t$ verwenden dürfte - leider sind die ZGWS alle ohne diese gleichmäßige Konvergenz formuliert (obwohl ich denke, dass sie zumindest bei Moivre-Laplace zutrifft). Der obige Beweis kommt jedenfalls ohne die gleichmäßige Konvergenz aus. ;-)

Fisch18 aktiv_icon

16:50 Uhr, 11.01.2025

Okay, vielen Dank für die ausführliche Antwort.

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