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Münzwurf Wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Wahrscheinlichkeistberechnung

kokosss aktiv_icon

20:47 Uhr, 21.05.2018

Eine Münze wird

100

mal geworfen, eine Zahl zu würfeln ist iid (Bernoulli ) mit WSK

0.5,

was ist die WSK mehr als

60

mal Zahl zu würfeln?

hier ist mein Versuch:

(das mit "mehr als

60

mal" macht mich unsicher...)

P (X > 60) = P (X \geq 61) = 1 - {(1 - \frac{1}{100})}^{100} = 0,63

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

21:36 Uhr, 21.05.2018

Hallo
Gut, dass du wenigstens unsicher bist.

Tipp:
Es handelt sich um eine Binomialverteilung.

Errechne dir mal:

a)

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

61

mal Zahl erscheint.

b)

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

62

mal Zahl erscheint.

c)

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

63

mal Zahl erscheint.

d)

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

64

mal Zahl erscheint.

. .

kokosss aktiv_icon

22:25 Uhr, 21.05.2018

danke!
hier ist mein neuer Versuch:

B (100; 0,5; k > 60) = 1 - B (100; 0,5; k \leq 60)

= 1 - (\begin{matrix} 100 \\ 60 \end{matrix}) \cdot {0,5}^{60} \cdot {(1 - 0,5)}^{100 - 60}

= 1 - 0,99

= 0.1

anonymous

22:39 Uhr, 21.05.2018

Jetzt lässt dein Ansatz doch schon mal Ansatz erkennen.
:-)

So viel sei verraten:

(\begin{matrix} 100 \\ 60 \end{matrix}) \cdot {0,5}^{60} \cdot {(1 - 0.5)}^{100 - 60}

ist tatsächlich die Wahrscheinlichkeit gemäß Binomialverteilung, dass genau

60

mal Zahl erscheint.
:-)

Gut geraten!
Dann kannst du jetzt sicherlich leicht:

a)

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

61

mal Zahl erscheint.

b)

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

62

mal Zahl erscheint.

c)

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

63

mal Zahl erscheint.

d)

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

64

mal Zahl erscheint.

. .

Ma-Ma aktiv_icon

22:43 Uhr, 21.05.2018

1)

Du hast den Hinweis von 11engleich nicht GENAU gelesen.

2)

Du hast die Wahrscheinlichkeit von

k = 60

berechnet, nicht von

k > 60

3)

Rechne bitte mit 4 Nachkommastellen.

Tipp:

k > 60

Verwende die summierte (kummulierte) Wahrscheinlichkeit!
LG Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:45 Uhr, 21.05.2018

Sorry 11gleich, Antworten überkreuz ..

kokosss aktiv_icon

09:46 Uhr, 23.05.2018

vielen Dank!
Ich muss hier also die WSK für

P (X > 60)

einzeln ausrechnen und addieren?
Bekommt man hier normalerweise die Tabelle?

anonymous

13:17 Uhr, 23.05.2018

Hallo

"Ich muss hier also die WSK für

P (X > 60)

einzeln ausrechnen und addieren?"
Du musst nicht, aber du kannst. Das wäre jedenfalls ein sehr gerichteter Lösungsweg - und, so wage ich zu bemerken - täte deinem Verständnis gut.

Deine bisherigen Ansätze irgend welche Zahlen in irgendwelche Formeln zu kippen, ließen - ich hoffe, ich darf so sagen - schon ein wenig erahnen, dass es dir hauptsächlich und grundsätzlich noch an Verständnis fehlt. Dann ist so eine Vorgehensweise schon mal sehr angemessen und ratsam, einfach sich selbst mal klar zu machen, was "mehr als

60

mal" bedeutet, und wie man sich das konkret Schritt für Schritt vor Augen führen kann.
Dein "(das mit "mehr als

60

mal" macht mich unsicher...)" spricht du doch deine Unsicherheiten aus, die es doch durch Verständnis-Schaffen zu überwinden gilt.

"Bekommt man hier normalerweise die Tabelle?"
Da drückst du dich sehr unklar aus. Ist mit "hier" das onlinemathe-Forum gemeint? Und welche Tabelle meinst du?

Natürlich gibt es wie so häufig in der Mathematik viele Lösungswege.

>

die WSK für

P (X > 60)

einzeln ausrechnen und addieren,

>

Ma-Ma hat es schon angesprochen: summierte (kummulierte) Wahrscheinlichkeit,

>

Annäherungen durch Normalverteilungen,

>

und sicher mehr...

Aber wie gesagt, es ist sicher ratsam, erst mal den einen Weg zu gehen, um Übersicht und Verständnis zu gewinnen. Die akademischen Wege kannst du dann immer noch gehen, um auch hiermit schwer zu tun und durch Übung leichter und leichter zu tun...

Bummerang

13:31 Uhr, 23.05.2018

Hallo,

wie hier bereits erwähnt, führen immer viele Wege nach Rom. Um für eine Binomialverteilung mit

100

Versuchen

P (X > 60)

zu errechnen, kann man die

40

Einzelwahrscheinlichkeiten

P (X = 61), P (X = 62), . .

, P (X = 99), P (X = 100)

addieren, man kann aber auch nachdenken und wegen der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeit

p = 0,5

die Symmetrie der Binomialverteilung ausnutzen! Dann ermittelt man

P (40 \leq X \leq 60),

indem man wie folgt rechnet:

P (40 \leq X \leq 60) = P (X = 50) + 2 \cdot P (X = 51) + 2 \cdot P (X = 52) + . .

+ 2 \cdot P (X = 59) + 2 \cdot P (X = 60)

Dazu muss man nur noch

11

Einzelwahrscheinlichkeiten (statt

40)

berechnen!

Anschließend ergibt sich wegen

P (X < 40) = P (X > 60) :

P (X > 60) = \frac{1}{2} \cdot (1 - P (40 \leq X \leq 60))

P (X > 60) = \frac{1}{2} \cdot (1 - P (X = 50)) - P (X = 51) - P (X = 52) - . .

- P (X = 59) - P (X = 60)

kokosss aktiv_icon

22:31 Uhr, 23.05.2018

vielen Dank! ich denke ich verstehe jetzt die Binomialverteilung mit "mehr als" besser.

Nur habe ich jetzt die Musterlösung bekommen und ich verstehe es einfach nicht:

P (\bar{X} > 0,6) = 1 - φ (2) = 0,023

warum

φ (2)

anonymous

12:51 Uhr, 24.05.2018

Na ja, wenn

α (3),

dann kann vielleicht

β (4)

helfen.

Sagt dir das was?
Fall nein, dann versetz dich mal in unsere Lage.
Auch unter den Lesern wirst du viel Glück brauchen, bis du jemanden finden wirst, der hellsehen kann, was

φ (2)

sein soll.

Vorschlag: Nicht so viel auf unverständliche Musterlösungen schielen, sondern einfach systematisch vorangehen. Tipps hast du ja schon eine Menge erhalten.

Sonst könnte es auch helfen, wenn du besser wissen lässt, wie tief du in der Wahrscheinlichkeitsrechnung steckst, was du schon kannst, was du nicht kannst, was ihr gerade thematisch durchnehmt, daraus welcher Lösungsweg der naheliegende ist, der hier wohl anzugehen angedacht ist...

Roman-22

13:13 Uhr, 24.05.2018

>

warum φ(2)?
Weil

\frac{60 - 50}{5} = 2

ist.

kreadoor und bummerang haben sich redlich bemüht, dir zu erklären, wie man die Aufgabe exakt mit Binomialverteilung rechnen könnte und auch wenn man sich mit Bummerangs Vorschlag, die Symmetrie zu nutzen, einiges an Arbeit ersparen kann, so ist die exakte Lösung doch zumindest lästig, sofern man dafür keinen Online-Rechner, keine Tabelle oder sonst irgend einen cleveren Rechenknecht einspannt.

Du hättest uns zumindest verraten können, dass ihr auch die Näherung der diskreten Binomialverteilung durch die stetige Normalverteilung besprochen habt, denn genau das wird in der Musterlösung gemacht! Die beiden Helfer hätten sich dann die leeren Kilometer erspart.

Hier sieht man übrigens recht gut, wie viel die Stetigkeitskorrektur, die bei der Musterlösung leider nicht verwendet wurde, bringen kann.
Der "genaue" Wert (mit Binomialverteilung gerechnet) der gesuchten Wahrscheinlichkeit ist

1,76 %

.
Mit NV ohne Stetigkeitskorrektur kommt man wie in deiner Musterlösung auf

2,275 %

.
Mit Stetigkeitskorrektur erhält aber man die recht gute Näherung

1,786 %

Bummerang

13:34 Uhr, 25.05.2018

Hallo Roman-22,

"... auch wenn man sich mit Bummerangs Vorschlag, die Symmetrie zu nutzen, einiges an Arbeit ersparen kann, so ist die exakte Lösung doch zumindest lästig"

Man kann natürlich weiter optimieren, indem man weiter zusammenfasst:

- P (X = 51) - P (X = 52) - . .

- P (X = 59) - P (X = 60)

= - (P (X = 51) + P (X = 52) + . .

+ P (X = 59) + P (X = 60))

= - ((\begin{matrix} 100 \\ 51 \end{matrix}) \cdot {0,5}^{100} + (\begin{matrix} 100 \\ 52 \end{matrix}) \cdot {0,5}^{100} + . .

+ (\begin{matrix} 100 \\ 59 \end{matrix}) \cdot {0,5}^{100} + (\begin{matrix} 100 \\ 60 \end{matrix}) \cdot {0,5}^{100})

= - {0,5}^{100} \cdot ((\begin{matrix} 100 \\ 51 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 100 \\ 52 \end{matrix}) + . .

+ (\begin{matrix} 100 \\ 59 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 100 \\ 60 \end{matrix}))

= - {0,5}^{100} \cdot ((\begin{matrix} 101 \\ 52 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 101 \\ 54 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 101 \\ 58 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 101 \\ 60 \end{matrix}))

= - {0,5}^{100} \cdot (\frac{53 \cdot 54 \cdot 55 \cdot 56}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) + \frac{55 \cdot 56}{47 \cdot 46} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) + \frac{44 \cdot 45}{58 \cdot 57} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) + \frac{42 \cdot 43 \cdot 44 \cdot 45}{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}))

= - {0,5}^{100} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot (\frac{53 \cdot 54 \cdot 55 \cdot 56}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46} + \frac{55 \cdot 56}{47 \cdot 46} + 1 + \frac{44 \cdot 45}{58 \cdot 57} + \frac{42 \cdot 43 \cdot 44 \cdot 45}{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57})

= - {0,5}^{100} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot ((\frac{53 \cdot 54}{49 \cdot 48} + 1) \cdot \frac{55 \cdot 56}{47 \cdot 46} + 1 + (1 + \frac{42 \cdot 43}{60 \cdot 59}) \cdot \frac{44 \cdot 45}{58 \cdot 57})

So ergibt sich insgesamt:

P (X > 60) = \frac{1}{2} \cdot (1 - {0,5}^{100} \cdot ((\begin{matrix} 100 \\ 50 \end{matrix})) - {0,5}^{100} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot ((\frac{53 \cdot 54}{49 \cdot 48} + 1) \cdot \frac{55 \cdot 56}{47 \cdot 46} + 1 + (1 + \frac{42 \cdot 43}{60 \cdot 59}) \cdot \frac{44 \cdot 45}{58 \cdot 57})

P (X > 60) = \frac{1}{2} - {0,5}^{101} \cdot (\begin{matrix} 100 \\ 50 \end{matrix}) - {0,5}^{100} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot ((\frac{53 \cdot 54}{49 \cdot 48} + 1) \cdot \frac{55 \cdot 56}{47 \cdot 46} + 1 + (1 + \frac{42 \cdot 43}{60 \cdot 59}) \cdot \frac{44 \cdot 45}{58 \cdot 57})

P (X > 60) = \frac{1}{2} - {0,5}^{101} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot \frac{56 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51}{101 \cdot 46 \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50} - {0,5}^{100} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot ((\frac{53 \cdot 54}{49 \cdot 48} + 1) \cdot \frac{55 \cdot 56}{47 \cdot 46} + 1 + (1 + \frac{42 \cdot 43}{60 \cdot 59}) \cdot \frac{44 \cdot 45}{58 \cdot 57})

P (X > 60) = \frac{1}{2} - {0,5}^{100} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot \frac{28 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51}{101 \cdot 46 \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50} - {0,5}^{100} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot ((\frac{53 \cdot 54}{49 \cdot 48} + 1) \cdot \frac{55 \cdot 56}{47 \cdot 46} + 1 + (1 + \frac{42 \cdot 43}{60 \cdot 59}) \cdot \frac{44 \cdot 45}{58 \cdot 57})

P (X > 60) = \frac{1}{2} - {0,5}^{100} \cdot (\begin{matrix} 101 \\ 56 \end{matrix}) \cdot (\frac{28 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51}{101 \cdot 46 \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50} + (\frac{53 \cdot 54}{49 \cdot 48} + 1) \cdot \frac{55 \cdot 56}{47 \cdot 46} + 1 + (1 + \frac{42 \cdot 43}{60 \cdot 59}) \cdot \frac{44 \cdot 45}{58 \cdot 57})

Roman-22

00:03 Uhr, 26.05.2018

>

Man kann natürlich weiter optimieren, indem man weiter zusammenfasst:
Ja, da sind zweifelsohne gute Ideen und Ansätze. Trotzdem immer noch etwas "lästig" und mittlerweile scheint ja schon klar zu sein, dass zumindest die Musterlösung die Näherung durch NV vorsieht und das Interesse von kokosss an diesem Thread auch nachgelassen hat.

kokosss aktiv_icon

23:16 Uhr, 27.05.2018

Vielen Dank!

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