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Münzwurf, geometrische Verteilung

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Tags: Geometrische Verteilung, Münzwurf

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03:18 Uhr, 27.03.2016

Eine faire Münze wird unendlich oft geworfen. Die Würfe werden mit 1,2,3,... nummeriert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass “Kopf” zum ersten Mal bei einem Wurf mit einer geraden Nummer auftritt.

Hallo,

ich möchte diese Aufgabe lösen, aber ich finde keinen Ansatz. :(

Ich denke die Wahrscheinlichkeit ist 0.5, dass Kopf zum ersten Mal bei einem Wurf mit einer geraden Nummer auftritt.
Jedoch weiß ich nicht, wie man an diese Aufgabe herangehen kann.

Mein Ansatz wäre folgender.

Sei

A_{k}

das Ereignis, dass "Kopf" das erste mal in einem Wurf mit der Nummer k auftritt.

Dann ist

P (A_{2}) = 0.5 \cdot 0.5 = \frac{1}{4}

P (A_{4}) = (\frac{1}{2})^{4}

Gesucht ist

P (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{2 k})

Da die Ereignisse

A_{2 k}

jeweils disjunkt sind, es kann ja nur eins dieser Ereignisse eintreten, gilt wegen der

σ

-additivität

P (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{2 k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} P (A_{2 k})

= \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{2 k} = \frac{1}{3}

Meine Rechnung sagt also etwas anderes als meine Intuition. Das heißt ja nicht, dass die Rechnung falsch ist. Ich würde sagen, es ist korrekt.

Habe ich diese Aufgabe korrekt gelöst?
Mir gefällt bisher nicht wie ich es aufgeschrieben habe. Was könnte man daran verbessern?

Über eine Korrektur oder Verbesserungsvorschläge würde ich mich sehr freuen.

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:20 Uhr, 27.03.2016

Die Reihe sieht so aus:

{0,5}^{2} + {0,5}^{4} + {0,5}^{6} + ... + {0,5}^{2 k}, k \in N

a_{0} = 0,25 = \frac{1}{4}

q = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

Summenwert:

\frac{\frac{1}{4}}{1 - (\frac{1}{4})} = \frac{1}{3}

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16:35 Uhr, 27.03.2016

Was genau ist der Unterschied zu meiner Lösung?

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17:07 Uhr, 27.03.2016

Keiner,außer dass du es mathematisch sauber(er) dargestellt hast. :-)
Ich habe direkt in die Formel für die geometr. Reihe

(s

. wikipedia)eingesetzt.

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18:47 Uhr, 27.03.2016

Nichts für ungut, aber dann finde ich deinen Beitrag etwas eigenartig, da meine Frage ja darin besteht, wie man soetwas besser mathematisch notieren kann. In der Stochastik geht es ja auch viel darum die Aufgabenstellungen korrekt zu modellieren.

Ich finde es schön, dass du meine Lösung bestätigt hast, aber das deine Lösung noch "unsauberer" ist, als meine, finde ich irgendwie eigenartig. :-)

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19:01 Uhr, 27.03.2016

Ich wollte damit nur sagen, dass ich an deiner Darstellung nichts auszusetzen habe.
Aber ich gebe zu, dass ich mit den Notationen nicht umfassend vertraut bin.
Vllt. äußert sich noch jemand dazu. :-)

Sorry, ich habe dein eigentliches Anliegen überlesen und nur auf die Aufgabenstellung geschaut mit dem Ziel einer einfachen und schnellen Lösung.

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19:07 Uhr, 27.03.2016

Ist schon in Ordnung, ich wollte dich jetzt auch nicht irgendwie rügen.
Ich würde mich freuen, wenn sich noch ein Experte, zu der Aufgabe äußern könnte.

Bummerang

00:22 Uhr, 28.03.2016

Hallo,

Dein Weg ist so korrekt und in der Form auch. Einzig eine Sache fehlt! Du setzt ein für

P (A_{2 k})

den Wert

{(\frac{1}{2})}^{2 k}

. Das ist korrekt, aber unbewiesen! Du hast anhand

P (A_{2}) = \frac{1}{4}

und

P (A_{4}) = {(\frac{1}{2})}^{4}

korrekt geschlossen, dass dann

P (A_{2 k}) = {(\frac{1}{2})}^{2 k}

ist, aber bevor Du das benutzen darfst ist es (induktiv) zu beweisen!

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00:41 Uhr, 28.03.2016

Ist tatsächlich ein induktiver Beweis dieser Formel notwendig?
Es ist doch relativ trivial, wie sich das ganze ergibt.

Aber gut, die Induktion sollte genau so trivial sein.

Ich möchte zeigen, dass

P (A_{2 k}) = {(\frac{1}{2})}^{2 k}

gilt.
Den Induktionsanfang habe ich oben schon hingeschrieben.

Induktionsvoraussetzung:

Für festes, aber beliebiges

k \in ℕ

gelte

P (A_{2 k}) = {(\frac{1}{2})}^{2 k}

Induktionsschritt:

k \mapsto k + 1

P (A_{2 (k + 1)}) = P (A_{2 k + 2}) = {(\frac{1}{2})}^{2 k + 2}

nach Induktionsvoraussetzung

= {(\frac{1}{2})}^{2 (k + 1)}

Und das sollte es ja bereits gewesen sein.

Bummerang

01:03 Uhr, 28.03.2016

Hallo,

klar ist es einfach und eher eine Formalie, alledings so einfach wie Du es machst ist es nicht! Da gehört dazu dass wenigstens in einem Zwischenschritt

P (A_{2 k})

auftaucht, damit man darauf die Ind.-vor. anwenden kann!

"Ist tatsächlich ein induktiver Beweis dieser Formel notwendig?"

Jede Formel, die man anwenden will, ist vorher zu beweisen!

"Es ist doch relativ trivial, wie sich das ganze ergibt."

Hütte Dich vor dem scheinbar offensichtlichen! Ich empfehle Dir die Lektüre eines in Antiquariaten und bei Online-Anbietern noch erhältlichen Buches der Herren Gilde und Altmeister: "Seltsames um den gesunden Menschenverstand"!

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01:13 Uhr, 28.03.2016

Ok, ich werde darauf achten.

Um die I.V. anwenden zu können, kann ich doch k+1=n substituieren.

Bummerang

01:21 Uhr, 28.03.2016

Hallo,

"Um die I.V. anwenden zu können, kann ich doch

k + 1 = n

substituieren."

Die Frage verstehe ich nicht? Im Induktionsschritt wird die I.V. angewendet und nur dort. Aber in der I.V. hat

n

(hier) nichts zu suchen!

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01:27 Uhr, 28.03.2016

Ich meinte es so:

P (A_{2 (k + 1)}) = P (A_{2 n}) = {(\frac{1}{2})}^{2 n} = {(\frac{1}{2})}^{2 (k + 1)}

Bummerang

01:37 Uhr, 28.03.2016

Hallo,

das nennt man einen Zirkelschluss bzw. im Volksmund beisst sich die Katze in den eigenen Schwanz! Du benutzt im Beweis die zu beweisende Gleichung! Wenn das so gehen würde wären ALLE Induktionsbeweise einfach. Man schreibt die linke Seite aus der Ind.-beh. auf, dann Gleichheitszeichen, dann die zu beweisende Gleichung (also linke und rechteSeite mit Gleichheitszeichen dazwischen), dann wieder ein Gleichheitszeichen und zum Schluss die rechte Seite der Ind.-beh. und schon ist der Beweis fertig! Das ist genauso genial wie es unsinnig ist!

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07:43 Uhr, 28.03.2016

Soweit ich sehe, verlangt die Aufgabenstellung keine Beweise. Es soll nur die WKT bestimmt, also berechnet werden. Dazu genügt der Verweis auf die vorliegendene geometrische Reihe. Oder übersehe ich da etwas?
Vllt. haben wir aus einer Mücke einen Elefanten gemacht ohne es zu merken.
MMn kommt es nur auf das Erkennen der Reihe und die Anwendung der entsprechenden Formel
an.

anonymous

13:58 Uhr, 28.03.2016

Hallo
Vorab, die bisherigen Hilfen und Vorgänge finde ich gut.
Darf ich aber eine andere Herangehensweise vorschlagen, in der Hoffnung, dass es dem ein oder anderen oder insbesondere der Fragestellerin leichter helfen könnte.

Ich möchte vorschlagen, einen Ereignisbaum zu zeichnen. Um das zu verdeutlichen, was ich im Sinn habe, habe ich das mal für uns vorbereitet, siehe Bild.

Wir sind ganz zu Anfang in einer Situation, die ich mit einem blauen Kreis gekennzeichnet habe:

>

Wir hoffen, dass im nächsten - im ersten - Wurf kein Kopf kommt. Denn sonst hätten wir verloren.

>

Die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf KEIN Kopf zu werfen ist

\frac{1}{2} = 50 %

>

Wir hoffen, dass im übernächsten - im zweiten - Wurf Kopf kommt. Denn dann hätten wir gewonnen.

>

Die Wahrscheinlichkeit, im übernächsten Wurf Kopf zu werfen ist

\frac{1}{2} = 50 %

.
Geben wir dieser soweit beschriebenen Situation mal einen Namen. Nennen wir sie "p". Ich komme gleich darauf zurück!

Betrachten wir mal den verbleibenden Fall, nämich den, dass wir zweimal Zahl geworfen hätten.
Das ist der Fall, in dem noch nichts entschieden ist, der Fall, in dem ich in weiteren Würfen immer noch dich Chance zu gewinnen oder zu verlieren hätte.
Betrachten wir diese Situation mal näher.

>

Wir hoffen, dass im nächsten

(-

im 3.

-)

Wurf kein Kopf kommt. Denn sonst hätten wir verloren.

>

Die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf KEIN Kopf zu werfen ist

\frac{1}{2} = 50 %

>

Wir hoffen, dass im übernächsten

(-

im 4.

-)

Wurf Kopf kommt. Denn dann hätten wir gewonnen.

>

Die Wahrscheinlichkeit, im übernächsten Wurf Kopf zu werfen ist

\frac{1}{2} = 50 %

.
Upps - das hatten wir doch schon mal! Ja, es ist hilfreich zu erkennen, dass dies genau die gleiche Situation ist, die wir oben schon beschrieben hatten. Es ist die Situation, der wir den Namen "p" verliehen hatten.
Und weil es genau die selbe Situation ist, habe ich sie auch gleich wieder mit einem blauen Kreis gekennzeichnet.
In anderen Worten: Die Situation nach Zahl-Zahl ist genau die selbe Situation, wie ganz zu Anfang.

Fassen wir das ganze mal in eine Formel:
Nennen wir "p" die gesuchte Wahrscheinlichkeit dafür, in einem geraden Wurf zum ersten Mal Kopf zu werfen.
Sie setzt sich zusammen, aus

>

der Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf Zahl und im zweiten Wurf Kopf zu werfen, also

p_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

>

und der Wahrscheinlichkeit, in den ersten zwei Würfen Zahl

+

Zahl zu werfen (Wahrscheinlichkeit dafür: p_(zz)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}),

und dadurch wieder zu der selben Situation und Gewinnchance zu gelangen, wie ganz zu Anfang.

Also:

p = p_{2} +

p_zz

\cdot p = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot p

Aus dieser Gleichung ist es nun ganz einfach, die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu errechnen:

p = \frac{1}{3}

Wie wir sehen: Ein wenig Nachdenken und logisches Argumentieren führt zum selben richtigen Ergebnis,

>

ganz ohne geometrische Reihe,

>

ganz ohne vollständige Induktion.

Gut der Schüler, der beide Wege nachvollziehen kann und in der jeweiligen Aufgabenstellung denjenigen Weg für sich nutzen kann, der ihn schneller und leichter zum Ziel führt.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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