Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Multiplikation: Äquivalenzklassen - ganze Ideale

Multiplikation: Äquivalenzklassen - ganze Ideale

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Ringe

Tags: äquivalenzklasse, Äquivalenzrelation, gebrochen, Gruppen, Hauptideal, Ideal, Körper, Multiplikation, Ring

mathteacher aktiv_icon

15:38 Uhr, 19.01.2018

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit der Idealklassengruppe. Dabei gibt es folgende Äquivalenzrelation:

Zwei Ideale a und

b

liegen in der selben Klasse

mod

HK (HK ist die Gruppe der gebrochenen Hauptideale)

\Leftrightarrow a = ξ b,

für ein

ξ \in K^{x}

. Schreibt man

ξ = \frac{β}{α}

mit

α, β \in

\Rightarrow α a = β b

.
Die Äquivalenzrelation auf der Menge der ganzen Ideale:

a ~ b \Leftrightarrow

Es gibt

α, β \in

Ok mit

α a = β b

.

Äquivalenzklassen bzgl. ~ multipliziert man, indem man Vertreter multipliziert und wieder zur Äquivalenzklasse übergeht. Diese Definition ist vertreterunabhängig.

Hier knüpft meine Frage an: wie kann man begründen, dass die Definition vertreterunabhängig ist?

Zur Def. habe ich mir bereits Gedanken gemacht. Mit anderen Worten ist

a ~ b \Leftrightarrow a^{- 1} b

ist ein gebrochenes Hauptideal.
Sind

C

und

D

jetzt solche Klassen und

a \in C, b \in D,

ist CD=

[

ab].
Kann man die Vertreterunabhängigkeit dadurch begründen, dass alle Vertreter in der selben Klasse

mod

HK liegen und sich deshalb bei der Multiplikation nichts ändert?

Über Hilfe oder Ideen würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Multiplikation und Division von Brüchen
Raummessung

ermanus aktiv_icon

16:14 Uhr, 19.01.2018

Du kannst es ganz formal begründen:
Seien

a \sim b \land c \sim d

. Dann gibt es

α, β, γ, δ \in O_{K}

mit

(α) a = (β) b \land (γ) c = (δ) d

. Nun die Gleichungen
mit einander multiplizieren:

(α γ) a c = (α) (γ) a c = (β) (δ) b d = (β δ) b d

,
also

a c \sim b d

.

Gruß ermanus

mathteacher aktiv_icon

16:21 Uhr, 19.01.2018

Danke! Ist sehr einleuchtend. :-)

mathteacher aktiv_icon

19:54 Uhr, 22.01.2018

Hallo, ich habe nochmal eine Rückfrage dazu. Ich will begründen, warum die Klasse des Einsideals ein neutrales Element ist. Mit anderen Worten, die Klasse der Hauptideale ist ein neutrales Element:

(1) ~ (a)

Hauptideal,

a \in

Ok. Das hilft mir jedoch nicht nicht so weiter, das zu begründen...

ermanus aktiv_icon

10:17 Uhr, 23.01.2018

Hallo,
vermutlich "siehst du gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht" ;-)
Zu jedem gebrochenen Ideal

b

sei

[b]

die zugehörige
Idealklasse und sei

(a)

mit

a \neq 0

ein (gebrochenes) Hauptideal, dann gilt:

[(a)] \cdot [b] = [(a) \cdot b] = [b]

, da

(a) \cdot b \sim b

nach Definition der Äquivalenzrelation "

\sim

".
Hieraus folgt, dass

[(a)]

das neutrale Element der Multiplikation ist.

Gruß ermanus

mathteacher aktiv_icon

10:47 Uhr, 23.01.2018

Ja, das Problem ist, dass mein Prof jetzt doch nicht will, dass ich die gebrochenen Hauptideale zur Def. der Idealklassengruppe verwende. Ich soll lediglich die Äquivalenzrelation einführen mit

a ~ b \Leftrightarrow α a = β b

mit

α, β

aus Ok. Das hat mich etwas durcheinander gebracht.

Ich kann also mithilfe dieser Eigenschaft auch begründen, dass

z . B

[(2)] = [(1)],

richtig ?

ermanus aktiv_icon

11:02 Uhr, 23.01.2018

Ja natürlich;
denn

2 \cdot (1) = 1 \cdot (2)

mathteacher aktiv_icon

12:11 Uhr, 23.01.2018

Okay, kapiert :-)
Jetzt will ich noch begründen, dass das Inverse existiert. Die Aussage lautet, dass das Inverse ex., da AA‘=(a) Hauptideal (ich schreibe das mal in Großbuchstaben, da ich nicht weiß, wie die Blockschrift funktioniert),

d . h

{[A]}^{- 1} =

[

A‘], wobei [A‘] das Konjugierte ist.

[

(a)]=[A][A‘]=[AA‘]=[(N(a))] warum ist das nun gleich

[A] {[A]}^{- 1}

bzw. warum existiert deshalb das Inverse? Dass

[(a)] = [A] {[A]}^{- 1}

kann ich theoretisch noch aufgrund das Def. des Inversen nachvollziehen.

ermanus aktiv_icon

13:17 Uhr, 23.01.2018

Nun, wenn du

a \cdot a^{ʹ} = (N (a))

weißt,
dann folgt doch daraus

[a] \cdot [a^{ʹ}] = [(1)]

. Wo siehst du hier ein Problem?

P.S.: Den Spammer habe ich rausgeschmissen!

mathteacher aktiv_icon

15:04 Uhr, 23.01.2018

Danke für's Löschen, hatte auch versucht, den Beitrag zu melden.

Okay, ich denke irgendwie immer, das reicht noch nicht als Begründung, aber es scheint wohl so zu sein. Vielen Dank für Mühe

+

Zeit mal wieder. :-)

ermanus aktiv_icon

15:37 Uhr, 23.01.2018

Wenn

x \cdot y

gleich dem neutralen Element der Multiplikation ist,
dann nennt man

y

das Inverse von

x

und schreibt dafür

y = x^{- 1}

.
Das ist einfach die Definition (!) des Inversen ;-)

1411433

1410647

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?