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Multiplikation mit p-adischen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

Lapislazuli aktiv_icon

00:33 Uhr, 21.11.2012

Hallo,

ich betrachte gerade folgendes Beispiel zu der Multiplikation p-adischer Zahlen:

3 + 6 \cdot 7 + 2 \cdot 7^{2} + . .

. mal

4 + 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7^{2} + . .

. =

5 + 4 \cdot 7 + 4 \cdot 7^{2} + . .

+

1 \cdot 7 + 4 \cdot 7^{2} + . .

+

3 \cdot 7^{2} + . .

.

Die

5

in der 3 Zeile kann ich ja noch nachvollziehen: Man hat

3 \cdot 4 = 12,

deshalb übertragt man eine 7 (das ist die

1 \cdot 7

in der 4. Zeile) und behält Rest 5. Aber wieso ist es dann danch

4 \cdot 7

mit Übertrag

4 \cdot 7^{2}

? Das hieße ja, dass das "eigtl" Ergebnis

200

sein müsste...Was wird denn da gerechnet?

Ich hoffe, man kann nachvollziehen was ich meine! Vielen Dank schonmal für jede Antwort!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

07:20 Uhr, 21.11.2012

Hallo,

> ich betrachte gerade folgendes Beispiel zu der Multiplikation p-adischer Zahlen:

Mit

p =

?

Aha, folgt in der nächsten Zeile, offenbar

p = 7

.

Unter dieser Voraussetzung liegt ein Anschreib- oder Abschreibfehler sehr im Bereich des Möglichen. Denn das abgetippte ist definitiv nicht richtig.

Mfg Michael

Lapislazuli aktiv_icon

08:48 Uhr, 21.11.2012

Hmm, nee dann muss das nen Tippfehler in dem Buch sein, das ich mir dazu ansehe...

Wie müsste es denn richtig heißen? Mein erster Schritt stimmte doch oder? Und wie macht man dann theoretisch weiter? Bzw. wie wäre es denn richtig?
Müsste man im nächsten Schritt dann

(6 \cdot 5 + 1) \cdot 7

rechnen und dann gucken, wie oft man da

7^{2}

rausnehmen kann?

Lg

michaL aktiv_icon

10:45 Uhr, 21.11.2012

Hallo,

prinzipiell ja. Aber erst mit 7 zu multiplizieren, nur um zu schauen, wie viele 49er da herauskommen, ist etwas unsinnig. Nicht mit 7 mutliplizieren und den Rest mod 7 bestimmen!

Mfg Michael

Lapislazuli aktiv_icon

22:12 Uhr, 21.11.2012

Sorry, aber ich verstehs immernoch nicht...

Dann nehme ich nur

6 \cdot 6

? Aber das ist doch dann

36 = 1 mod

7...woher weiß ich denn dann was für einen Übertrag ich nehmen muss?

michaL aktiv_icon

07:31 Uhr, 22.11.2012

Hallo,

führe doch einfach eine komplette Division mit Rest durch.
Es ist übrigens alles ganz genau wie bei den Dezimalzahlen (nur eben der Modul 7 ist anders).

Rechne also:

6 \cdot 5 + 1 = 31 = 4 \cdot 7 + 3

D.h. 3 ist die entsprechende Stelle im Stellenwertsystem und 4 der Übertrag (genau wie der schriftlichen Multiplikation der Dezimalzahlen, falls ich das noch nicht erwähnt hab).

Mfg Michael

Lapislazuli aktiv_icon

09:07 Uhr, 22.11.2012

Aber ich kann doch jetzt nicht eine 7 im Übertrag haben. Die nächste Stelle ist doch jetzt

7^{2} = 49

. Wenn deine Rechnung richtig ist, müsste ich doch dann gar nichts übertragen...

michaL aktiv_icon

09:44 Uhr, 22.11.2012

Hallo,

ist dir in den Sinn gekommen, dass der Übertrag die 4 ist?!

Mfg Michael

Lapislazuli aktiv_icon

18:21 Uhr, 22.11.2012

Doch schon, aber ich verstehe nicht warum...

Sorry, aber irgendwie stehe ich dabei total auf dem Schlauch: Nochmal: Ich rechne zunächst

3 \cdot 4 = 12 = 1 \cdot 7 + 5

.
Die 5 schreibe ich direkt auf, die eine 7 geht in den Übertrag, da ich somit ja einmal 7 mehr habe.

Das erklärt für mich, wie die

5

in die 3. Zeile und die

1 \cdot 7

in die 4.Zeile kommen.

Wieso geht dann aber die 3. Zeile mit

4 \cdot 7 + 4 \cdot 7^{2}

weiter? Und wieso die 4. mit

4 \cdot 7^{2}

?
Wieso steht in der 5.

3 \cdot 7^{2}

?

Dass ich dann für das Endergebnis die Zeilen

3 - 5

nur addieren muss, ist mir klar, aber ich verstehe eben nicht, wie man auf die Zeilen

3 - 5

kommt, abgesehen von der ersten 5 und dem

1 \cdot 7 ...

michaL aktiv_icon

20:58 Uhr, 22.11.2012

Hallo,

hm, ich war da auch voreilig. Sorry.

Den Koeefizienten vor

7^{0}

(Einerstelle) erhält man ausschließlich durch die Multiplikation der Einer.
Also:

3 \cdot 4 = 12 = 1 \cdot 7 + 5

Demgemäß ist die Einerstelle des Produkt gerade die 5 (Rest der Division), der Übertrag ist 1.

Der Koeffizient vor

7^{1}

wird erhalten durch die Multiplikation eines Einers mit dem Siebener der anderen Zahl bzw. deren Summe. Zusätzlich muss der Übertrag eingerechnet werden.
Also:

3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 * 1 = 15 + 24 + 1 = 40 = 5 \cdot 7 + 5

Der Koeffizient vor

7^{2}

wird erhalten durch die Produkte der Einer mit den 49ern und der 7er miteinander. Hinzu kommt wieder der Übertrag.
Also:

3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + 5 = 3 + 8 + 30 + 5 = 46 = 6 \cdot 7 + 4

Die Zeilen sollen (vermutlich) folgendes darstellen:

1. Zeile:

3 \cdot (4 + 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7^{2} + \dots) = 5 + 2 \cdot 7 + 5 \cdot 7^{2} + \dots

2. Zeile:

6 \cdot 7 \cdot (4 + 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7^{2} + \dots) = 3 \cdot 7 + 5 \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7^{3} + \dots

3. Zeile:

2 \cdot 7^{2} \cdot (4 + 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7^{2} + \dots) = 1 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7^{3} + 3 \cdot 7^{4} \dots

Jetzt kannst du die Stellen (stellenweise) zusammenrechnen (wie bei der schriftlichen Multiplikation), wobei du die Überträge beachten musst:
Einer:

5

; kein Übertrag
7er:

2 + 3 = 5

; kein Übertrag
49er:

5 + 5 + 1 = 11 \equiv 4

; 1 Übertrag

So könnte ich mir das erklären, anders eher im Moment nicht.
Kontext wäre vielleicht hilfreich!

Mfg Michael

Lapislazuli aktiv_icon

22:14 Uhr, 22.11.2012

Vielen Dank erstmal schonmal!

Der Kontext ist in etwa wie folgt: Es geht um die p-adische Expansion, also die Möglichkeit jede rationale Zahl als

\sum_{i = - \infty}^{N} a_{i} p^{i}

mit geeigneten Koeffizienten

a_{i}

aus

ℤ

zu schreiben.
Und dann eben darum, dass man damit genauso rechnen kann wie mit Dezimalzahlen nur nun den Übertrag von links nach rechts statt von rechts nach links beachten soll...

Wie gesagt, es war auch doof die Aufgabe hier zu schreiben, ich habs irgendwie weder im LaTex Modus noch hier gut hinbekommen :-).

Wo wir aber gerade schon dabei sind und du ja Ahnung zu haben scheinst: Bei der Summe lässt man den Index ja von

- \infty

bis

N

geeignet laufen. Hat man dann, wenn man das Komma nach

a_{0}

setzt, nicht nach links irgendwann nur noch Nullen? Also

z . B

... 0000003,14 = 3 + 1 \cdot 7 + 4 \cdot 7^{2} = 206

?

Oder denke ich da auch wieder was falsch?

Lg

michaL aktiv_icon

07:41 Uhr, 23.11.2012

Hallo,

äh, dein post verwirrt mich.

Du hast das Komma auf der falschen Seite gesetzt. "Nach"

a_{0}

bedeutet in diesem Fall links davon (jedenfalls dann, wenn man nach links hin kleiner werdende Exponenten hat).

Dann aber hast du recht. Bei abbrechender Septimaldarstellung (in Analogie zur Dezimaldarstellung) hat man dann irgendwann nur noch Nullen, wenn man eine rationale Zahl hat, deren Nenner keinen anderen Primteiler als 7.

Mfg Michael

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