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Multiplikative Gruppe zyklisch Ordnung q-1

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Körper

Tags: endlicher Körper, Körper, Ordnung, zyklisch multiplikative Gruppe

 
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anonymous

anonymous

17:40 Uhr, 09.11.2012

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Hallo,

Ich habe Schwierigkeiten den Beweis dieses Theorems zu verstehen. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Allgemein: Sei p eine Primzahl und f nat. Zahl ≥1 und q=pf.

Theorem: die multiplikative Gruppe Fq⋆ eines endlichen Körpers Fq ist zyklisch der Ordnung q-1.

Beweis: ist d eine ganze Zahl ≥1 erinnert Φ(d) an die Eulersche Funktion. ( eulersche Funktion habe ich mir angeguckt, ist eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Φ(d) der zu d teilerfremden Zahlen m≤n zuordnet, zb ist Φ(15)=8.)
Dann ist Φ(d) die Anzahl der Erzeuger der zyklischen Gruppe der Ordnung d. ( eine zyklische Gruppe wird von einem einzelnen Element erzeugt, sagen wir a. Die Gruppe besteht aus allen Potenzen des Erzeugers <a>:={an|n∈ℤ}. Gruppe ist zyklisch wenn sie a enthält.

Das in den Klammern habe ich mir dazu geschrieben um es eventuell ein bisschen besser zu verstehen.

Jetzt folgen zwei Lemmata und die Beweise dazu verstehe ich nicht. Zunächst dass erste:

Lemma 1: wenn n eine natürliche Zahl ≥1 ist, dann ist n=∑d|nΦ(d). (Notation d|n bedeutet d teilt n)

Beweis: wenn d,n teilt sei Cd eindeutige Untergruppe von ℤnℤ der Ordnung d und Φd die Menge der Erzeugern von Cd.
Weil alle Elemente ℤ nZz eines aus Cd erzeugen , ist die Gruppe die disjunkte Vereinigung von Φd und wir haben
n= card ℤnℤ=∑d|n card Φd=∑d|nΦd

Vielleicht kann mir den Teil jemand erklären.

LG
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