Multiplikative Inverse berechnen

Hallo Leute,
ich soll die multiplikativen Inverse von ${\displaystyle {\left[3\right]}_{23}}$ in ${\displaystyle {\mathbb{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{23}}$ berechnen, aber ich habe keine Ahnung was ich da genau machen muss.

Ich weiß nur, dass eine Zahl multipliziert mit seinem multiplikativen Inversen 1 ergeben muss. Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen?

Grüße

macbalboa

So, ich hab das jetzt mal so probiert:

${\displaystyle 23=7\cdot 3+2}$

${\displaystyle 3=1\cdot 2+1}$

ggT (23, 3)=1

Umformung der Zeilen nach dem Rest:

${\displaystyle 2=23-7\cdot 3}$

${\displaystyle 1=3-1\cdot 2}$

${\displaystyle \Rightarrow 1=3-1\cdot (23-7\cdot 3)}$

${\displaystyle 1=-1\cdot 23+8\cdot 3}$

${\displaystyle 8\cdot 3-1=1\cdot 23}$

${\displaystyle {\left[8\right]}_{23}\cdot {\left[3\right]}_{23}={\left[1\right]}_{23}}$

${\displaystyle \Rightarrow \left[8\right]}$ist das multiplikative Inverse von ${\displaystyle {\left[3\right]}_{23}}$.

Ist das so einigermaßen in Ordnung?