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Multiplikatives Inverse im Restklassenring

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: multiplikatives Inverse, Restklassenring

 
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Unbekannt123

Unbekannt123 aktiv_icon

20:56 Uhr, 14.08.2014

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Hallo ;-) Ich bin gerade dran für eine Klausur zu lernen und es geht um diese Aufgabe:

Berechnen Sie das multiplikative Inverse von 8 im Restklassenring "Z/13Z".

Lösung mit dem Euklidischen Algorithmus:

13=1 · 8+5
5=1 · 13 − 1 · 8

8=1 · 5+3
3=8 − 1 · 5=8 − (13 − 8)=2 · 8 − 13

5=1 · 3+2
2=5 − 3=13 − 8 − (2 · 8 − 13)=2 · 13 − 3 · 8

3=1 · 2+1
1=3 − 2=(2 · 8 − 13) − (2 · 13 − 3 · 8)=5 · 8 − 3 · 13

Soweit kein Problem, nur dann steht in der Musterlösung:


Die letzte Gleichung bedeutet gerade

1=8⋅5

in "Z/13Z". D.h. 5 ist das gesuchte multiplikative Inverse.

Leider verstehe ich die Schlussfolgerung nicht.
Kann mir jemand das erklären, bitte?

Gruß :-)
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Bummerang

Bummerang

22:55 Uhr, 14.08.2014

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Hallo,

in ℤ/13ℤ ist jedes Vielfache von 13 gleich dem additiven Nullelement. Es steht also da:

1=5⋅8-0=5⋅8

Jetzt klar?
Unbekannt123

Unbekannt123 aktiv_icon

23:20 Uhr, 14.08.2014

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Okay, 5⋅8=40=1 da 13,26,39=0 sind und die jeweils folgende Zahl 1 ist.

Heißt also, im Prinzip suche ich ne Zahl, die multipliziert mit 8 in der Restklasse wieder 1 ergibt.

Hier ist das dann 5.
Also schau ich mir einfach im letzten Schritt an, mit was die Zahl aus der gestellten Aufgabe multipliziert wird.


Jetzt hab ich noch ne allgemeine Frage zum erweiterten euklidischen Algorithmus.
Ein multiplikative Inverses kann ich nur finden, wenn die Zahlen teilerfremd sind, oder?

PS: Danke für die schnelle Antwort!
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