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Nabla einer Funktion eines Betrages

Universität / Fachhochschule

Tags: Differentialrechnung, Infinitesimalrechnung, Nabla-Operator, Vektoranalysis

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mac-user09

mac-user09 aktiv_icon

08:46 Uhr, 21.11.2012

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Hallo,

ich habe eine Funktion

g (r),

beliebig und diff'bar. Für diese soll Nabla

g (r)

berechnet werden.
r-Vektor ist ein Ortsvektor, weshalb ich davon ausgehe, dass

g (r)

dann die Funktion des Betrags des Ortsvektors ist:

g (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})

Stimmt's bis jetzt?

Nun ist das problem, wie muss ich jetzt den Nabla darauf anwenden? da kommt bei mir r-Vektor/r-Betrag raus. Das sieht aber komisch aus....

Was sagt ihr dazu? Wo liegt evtl. der Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

pwmeyer

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10:38 Uhr, 21.11.2012

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Hallo,

warum soll das falsch sein? Was hast Du mit dem

g

gemacht?

Gruß pwm

mac-user09

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19:47 Uhr, 21.11.2012

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Hi,

Danke Für die Antwort.

Ich habe gemacht:

(\frac{d}{d x} g (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}), \frac{d}{d y} g (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}), \frac{d}{d z} g (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}))

ist ein Zeilenvektor.

Wie muss ich nun

z . B

.

\frac{d}{d x} g (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})

von machen? Ist das einfach

x {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}

?

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

21:40 Uhr, 21.11.2012

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Hallo,

so stimmt das nicht, Du musst die Kettenregel benutzen:

\partial_{x} g (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}) = g' (\sqrt{...}) \cdot \partial_{x} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}

Gruß pwm

mac-user09

mac-user09 aktiv_icon

17:18 Uhr, 22.11.2012

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Gut, dann habe ich als Endergebnis für Nabla von

g (r)

folgendes raus:

r_{V} \cdot (g' (r_{B}) \cdot \frac{x}{r_{B}^{3}}, g' (r_{B}) \cdot \frac{y}{r_{B}^{3}}, g' (r_{B}) \cdot \frac{z}{r_{B}^{3}})

r_{V}

ist der r-Vektor

(x, y, z)

und

r_{B}

ist der Betrag des r-Vekotrs

Das nach

r_{V}

ist ein Zeilenvektor.

Stimmt das Ergebnis?
denn Ableitung nach

x

von

g (r)

ist gleich:

g' (r) \cdot 0,5 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}} \cdot 2 x = g' (r) \cdot x {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}

Es müsste ja auf jeden Fall ein Vektor rauskommen am Ende, da ich ja Vektor

\cdot

Funktion mache, oder?

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

08:02 Uhr, 24.11.2012

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Hallo,

ja, stimmt.

Gruß pwm

Frage beantwortet

mac-user09

mac-user09 aktiv_icon

10:28 Uhr, 24.11.2012

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Jau, wunderbar. Danke sehr.

Gruß
Mac.

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