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Nach x im Exponent auflösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Exponent, Gleichungen, Hochzahl, Potenz

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giggity

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19:46 Uhr, 26.06.2012

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Bei folgender Aufgabe komme ich leider nicht weiter:

4^{2 x + 1} - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0

Ich habe einfach mal durch

4^{x}

geteilt, sodass sich folgendes ergibt:

4^{x + 1} + 4^{1 - x} - 17 = 0

Was soll ich jetzt machen? Am besten wäre, wenn ich jeweils ein Produkt auf den Seiten habe, dann könnte ich gut logarithmieren. Summen zu logarithmieren, wie sie jetzt da stehen, bringt mich nicht weiter.

Als Lösung müsste

\pm 1

stimmen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Potenzfunktionen - Einführung

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

CKims

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19:49 Uhr, 26.06.2012

Antworten

bring die

17

auf die andere seite...

forme die vieren so um, dass nur noch

x

alleine oben steht...

klammere

4^{x}

aus...

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

20:00 Uhr, 26.06.2012

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Einfach:

1)

Löse den ersten Term in 2 einzelne Terme auf (Potenzgesetze).

2)

Substituiere

u = 4^{x},

dann hast Du eine quadratische Gleichung !

3)

Diese umformen und die pq-Formel anwenden !

LG Ma-Ma

giggity

giggity aktiv_icon

20:15 Uhr, 26.06.2012

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Danke MokLok und Ma-Ma!

Zuerst meine Rechnungen zu MokLok's Antwort:

4^{x + 1} + 4^{1 - x} = 17

4 \cdot 4^{x} + 4 \cdot 4^{- x} = 17

4^{x} \cdot (4 + 4^{- 2 x}) = 17

Was soll ich jetzt machen? Die

4 \cdot 4^{- x}

bzw.

4^{- 2 x}

stören.

Zu Ma-Ma's Antwort:

Substitution, total übersehen! Damit geht es ja wirklich einfach!

u = 4^{x}

4 u^{2} - 17 u + 4 = 0

Mitternachtsformel ergibt 4 und

\frac{1}{4}

.

Also sind die Lösungen wie vermutet:

4^{x} = 4

x \cdot ln (4) = ln (4)

x = 1

und

4^{x} = \frac{1}{4}

x \cdot ln (4) = ln (\frac{1}{4})

x = - 1

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

20:39 Uhr, 26.06.2012

Antworten

4^{x + 1} + 4^{1 - x} = 17

Bearbeitet: Ja das ist auch möglich !

Deine prinzipiellen Rechnungen zur Substitution sind okay. (Hab noch nicht alles nachgerechnet

. .)

Noch einfacher

. .

. kann man direkt ablesen :

4^{x} = 4^{1}

x = 1

4^{x} = 4^{- 1}

x = - 1

Werd´ jetzt das ganze Geraffel nochmal nachrechnen

. .

.

LG Ma-Ma

giggity

giggity aktiv_icon

20:57 Uhr, 26.06.2012

Antworten

Das stimmt doch soweit!

Davor hab ich ja durch

4^{x}

geteilt, sodass sich folgendes ergibt:

4^{x + 1} + 4^{1 - x} - 17 = 0

Dann hab ich weitergemacht wie oben steht...

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

21:09 Uhr, 26.06.2012

Antworten

Sorry. Jepp

. .

. Du hast recht ! So kann man auch umformen ! Da hab ich nicht bis zu Ende gedacht !

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

21:15 Uhr, 26.06.2012

Antworten

Hab die Ergebnisse mit der pq-Formel nachgerechnet:

Ja, ich komme auch auf 4 und

\frac{1}{4}!

Schönen Abend wünsch ich Dir

. .

.
LG Ma-Ma

Frage beantwortet

giggity

giggity aktiv_icon

21:16 Uhr, 26.06.2012

Antworten

Danke, Dir auch einen schönen Abend!

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