Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Nachweis Äquivalenz: Homomorphismus|Untergruppe

Nachweis Äquivalenz: Homomorphismus|Untergruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

anonymous

13:17 Uhr, 15.01.2019

Seien

(G, ◦_{G})

und

(H, ◦_{H})

zwei Gruppen und

f : G \to H

eine Abbildung. Zeigen
Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

(1) Die Abbildung f ist ein Homomorphismus von

(G, ◦_{G})

nach

(H, ◦_{H})

.
(2) Die Menge

{(x, y) \in G \times H ∣ f (x) = y}

ist eine Untergruppe von

(G \times H, ◦_{G \times H})

.

Die Aufgabe schein mir einfach zu sein, aber mir fehlt irgendwie der Ansatz. Es gilt ja

\forall a, b \in G

f (a ◦_{G} b) = f (a) ◦_{H} f (b)

. Wie weist man nun aber nach, dass das auch in (2) gilt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:18 Uhr, 15.01.2019

Hallo,

ja, sie ist einfach. Wie viele der Aufgaben geht es bloß um geeignete Formalisierung.
Und damit du das geeignet üben kannst, schreibe doch einmal auf, was man für (i)

\Rightarrow

(ii) alles zeigen muss. Ebenso für (ii)

\Rightarrow

(i).

Denn: Wer das Ziel nicht kennt, kann den Weg nicht wissen.

Mfg Michael

anonymous

17:02 Uhr, 15.01.2019

(i)->(ii)

\forall (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in G \times H : f (x_{1} ◦_{G} x_{2}) = f (x_{1}) ◦_{H} f (x_{2})

(ii)->(i)

ɛ \in G \times H

\forall (x, y) \in G \times H : (x, y)^{- 1} \in G \times H

\forall (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in G \times H : (x_{1}, y_{1}) ◦_{G \times H} (x_{2}, y_{2}) \in G \times H

Falls das alles gerade ziemlicher Blödsinn ist, liegt das teilweise daran, dass ich nicht weiß, wo ich die Funktion

f (x) = y

unterbringen soll.

michaL aktiv_icon

17:06 Uhr, 15.01.2019

Hallo,

insofern blöd, als dass es vertauscht ist.

Für (i)

\Rightarrow

(ii) muss man doch nur beweisen, dass

U := {(x, y) \in G \times H ∣ f (x) = y}

eine Untergruppe von

(G \times H, \cdot_{G \times H}, (e_{G}, e_{H}),^{- 1})

ist.

Schreibe doch einmal genau auf, welche Axiome (nicht nur Namen, vielmehr die zu prüfenden Gleichungen) da gelten müssen!

Mfg Michael

anonymous

17:13 Uhr, 16.01.2019

Damit es eine Untergruppe ist, muss ich zeigen, dass das neutrale Element in der Menge

G \times H

liegt.

e_{H} \in H

und

e_{G} \in G

deshalb

(e_{H}, e_{G}) \in G \times H

und für jedes Element muss ein inversess existieren

\forall x \in G : x^{- 1} \in G

und

\forall x \in H : x^{- 1} \in H

deshalb

\forall (x_{1}, x_{2}) \in G \times H : (x_{1}, x_{2})^{- 1} \in G \times H

Die Elemente der Gruppen sind ja mit der Verknüpfung der Gruppe, innerhalb der Gruppe abgeschlossen. Darum denke ich, deshalb denke ich, dass folgendes gilt:

\forall (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in G \times H : (x_{1}, y_{1}) ◦_{G \times H} (x_{2}, y_{2}) \in G \times H

michaL aktiv_icon

17:29 Uhr, 16.01.2019

Hallo,

bitte höre auf, die Antworten nur zu überfliegen!

Du musst nicht zeigen, dass das Produkt

G \times H

eine Gruppe ist.
Für (i)

\Rightarrow

(ii) muss du zeigen, dass

U := {(x, y) \in G \times H ∣ y = f (x)}

eine UNTERgruppe von

G \times H

ist. Dazu darfst du verwenden, dass

f : G \to H

ein Gruppenhomomorphismus ist.
Du müsstest tatsächlich zeigen, dass

e_{G \times H} \in U

gilt. Versuche doch bitte erst einmal das.

Mfg Michael

anonymous

19:04 Uhr, 16.01.2019

Da Hom.:

φ (e_{G} ◦_{G} e_{G}) = φ (e_{G}) ◦_{H} φ (e_{G})

Folgt darauss, dass das neutrale El. aus G, dasselbe ist wie in H? Es gibt ja jeweils nur ein neutrales El. in G und H.

michaL aktiv_icon

07:25 Uhr, 17.01.2019

Hallo,

hm, nein.
Da

f : g \to H

ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt

f (e_{G}) = f (e_{g} \cdot_{G} e_{G}) = f (e_{G}) \cdot_{H} f (e_{G})

, kurz also

f (e_{G}) = f (e_{G}) \cdot_{H} f (e_{G})

.
Auf diese Gleichung wendest du

{(f (e_{G}))}^{- 1}

an, sodass sich daraus

f (e_{G}) = e_{H}

ergibt.
Dies ist eine vermutlich in eurer Vorlesung schon bewiesene Eigenschaft, dass Gruppenhomomorphismen das neutrale Element einer Gruppe wieder auf das neutrale Element (evtl. einer anderen Gruppe, wie hier) abbilden.

Damit gilt also, dass

e_{H} = f (e_{G})

gilt, oder - mit Worten des Aufgabenstellers:

(e_{G}, e_{H}) = e_{G \times H} \in U

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

20:34 Uhr, 18.01.2019

Hallo,

wurde vermutlich zu anstrengend, oder wie soll das plötzliche Desinteresse erklärt werden?!

Also los:

(i)

\Rightarrow

(ii):

Zu zeigen:
(a)

e_{G \times H} = (e_{G}, e_{H}) \in U

: Wegen

f : G \to H

Homomorphismus, gilt

e_{H} = f (e_{G})

, was gerade

(e_{G}, e_{H}) \in U

bedeutet.

(b) Aus

(x, y) \in U

folgt

(x^{- 1}, y^{- 1}) \in U

: Aus

(x, y) \in U

folgt

y = f (x)

.
Da

f

Homomorphismus ist, gilt also

y^{- 1} = f (x^{- 1})

, d.h.

(x^{- 1}, y^{- 1}) \in U

.

(c) Aus

(x, y), (a, b) \in U

folgt

(a \cdot_{G} x, b \cdot_{H} y) \in U

(x, y), (a, b) \in U

heißt ja gerade

y = f (x)

und

b = f (a)

. Daraus folgt (wieder weil

f

Homomorphismus ist):

f (a \cdot_{G} x) = f (a) \cdot_{H} f (x) = b \cdot_{H} y

, d.h.

(a \cdot_{G} x, b \cdot_{H} y) \in U

.

(ii)

\Rightarrow

(i): Zu zeigen ist, dass

f (a \cdot_{G} x) = f (a) \cdot_{H} f (x)

gilt.

Seien also

y := f (x)

und

b := f (a)

. Dann gelten

(a, b), (x, y) \in U

per def. von

U

.
Und weil

U

eine Untergruppe ist, folgt, dass

(x, y) \cdot_{H} (a, b) \in U

gilt, also, dass

(x \cdot_{G} a, y \cdot_{G} B) \in U

. Das heißt aber nichts anderes, als

f (x \cdot_{G} a) = y \cdot_{H} b

y

und

b

rückübersetzt folgt die Gleichung

f (a \cdot_{G} x) = f (a) \cdot_{H} f (x)

...................................................

▫

Leerzeilen weggelassen habe ich einen 13-zeiler daraus gemacht. Sicher noch weiter "kürzbar".

Mfg Michael

anonymous

21:01 Uhr, 18.01.2019

Kein Desintresse, waren ein paar stressige Tage an der Uni. Diese Zusatzaufgabe stand ziemlich weit hinten auf meiner Liste.

Trotzdem vielen Dank für die Lösung und die Geduld. :-)

1455849

1455299

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?