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Nachweis der Symmetrie einer Äquivalenzrelation

Universität / Fachhochschule

Tags: Äquivalenzrelation, tieferes Verständnis

anonymous

22:37 Uhr, 13.12.2013

Guten Abend :-)

Ich habe eine interessante Frage zu stellen und ich hoffe, dass es jemanden gibt, der sie beantworten kann.

Gegeben ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der reellen Zahlen.
Wir wissen, dass eine Relation bestimmte geordnete Paare der Form

(x, y)

aus dem Kreuzprodukt RxR "selektiert".

Welche werden "selektiert" ? Naja, genau die, die durch die Relationsbedingung "erfasst" werden, also diese erfüllen. Und diese Bedingung heißt:

x^{a} - y^{a} =

ax - ay
mit a Element natürliche Zahl

\geq 1

So....jetzt kennt man ja die Bedingung für die Symmetrie. Diese lautet in sprachlicher Form: WENN

(x, y)

Element der Relation ist, DANN ist auch

(y, x)

Element der Relation.

Nun, was heißt das ? Das heißt, dass immer dann, wenn ein geordnetes Paar

(x, y)

die Relationsbedingung erfüllt, es auch das umgekehrt geordnete Paar tun muss.

Eigentlich ist mir soweit alles klar. Auch habe ich eine anschauliche Vorstellung des Ganzen. Und die Feinheiten mit "wenn, dann" sind mir auch absolut bewusst.

Aber nun setzt meine Frage an:
Wenn ich ein geordnetes Paar habe, dass diese Bedingung erfüllt, dann muss ja auch das umgekehrt geordnete Paar dies auch tun. Also vertausche ich

x

und

y

der Relationsbedingung und erhalte:

y^{a} - x^{a} =

ay - ax

Und jetzt schaue ich mir das Werk an und stelle fest, hm....die Struktur der Bedingung hat sich nicht geändert.

Mit welcher Begründung, kann ich jetzt schließen, dass die Relation symmetrisch ist ? Kann man das deshalb, weil man

x

und

y

vertauschen konnte oder kann man es deshalb, weil die Struktur der Relationsbedingung das Vertauschen zugelassen hat oder was genau ist denn jetzt eigentlich meine Argumentation, dass dies der Beweis ist, dass die Symmetrieeigenschaft erfüllt wird ?

Irgendwie leuchtet mir das nicht ein, dass ein bloßes Vertauschen der Beweis für irgendwas sein soll.... Kann jemand weiterhelfen ?

Viele Grüße

von Matze

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Sina86

22:49 Uhr, 13.12.2013

Hallo,

was genau meinst du denn mit "Struktur"? Du willst eigentlich überprüfen, ob die Gleichung

y^{a} - x^{a} = a y - a x

wahr ist (das ist erst einmal nicht bekannt). Dann hättest du die Möglichkeit, sie entweder aus einer Gleichung, von der man weiß, dass sie wahr ist, herzuleiten, oder sie auf eine solche Gleichung zurück zu führen. Wie kann man das denn nun machen?

Gruß
Sina

anonymous

22:52 Uhr, 13.12.2013

Hallo Sina !

Ob die Gleichung wahr ist oder nicht, interessiert uns gar nicht....die Bedingung der Symmetrie verlangt nicht, dass die Gleichung von irgendeinem geordneten Paar erfüllt wird. Sie verlangt lediglich, DASS WENN sie von einem geordneten Paar erfüllt wird, dass sie DANN AUCH vom umgedreht geordneten Paar erfüllt wird.

Deswegen geht es bei meiner Frage überhaupt nicht darum, ob es überhaupt ein Paar gibt, dass sie erfüllt. Das ist nämlich irrelevant.

Matze

Sina86

23:04 Uhr, 13.12.2013

Hallo,

nun, vielen Dank, dass du mir die Symmetrie erklärst... Ich habe auch gar nicht behauptet, dass es ein Paar gibt, dass die Bedingung erfüllt. Du hast aber nach dem Beweis für die Symmetrie gefragt und ich habe dir erklärt, was ein Beweis wäre. Ich würde auch gerne genauer auf deine Frage eingehen, leider verstehe ich nicht, was du mit "Struktur" meinst, das scheint mir ein recht schwammiger Begriff zu sein.

In dem von dir gegebenem Beispiel gilt

(x, y) \in R \times R

, genau dann wenn die Gleichung

x^{a} - y^{a} = a x - a y

wahr ist. Das heißt, die Aussage, dass das geordnete Paar

(x, y) \in R \times R

ist, ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass

x^{a} - y^{a} = a x - a y

eine wahre Aussage ist. Nun mache ich eine Äquivalenzumformung von dieser Gleichung, indem ich beide Seiten mit

- 1

multipliziere und erhalte

y^{a} - x^{a} = a y - a x

. Da die erste Gleichung wahr ist, ist auch die zweite Gleichung wahr und diese Aussage ist gleichbedeutend, wie die Aussage

(y, x) \in R \times R

. DAS ist der Beweis für die Symmetrie.

Beste Grüße
Sina

anonymous

23:14 Uhr, 13.12.2013

Liebe Sina !

Du schreibst:

"Nun mache ich eine Äquivalenzumformung von dieser Gleichung, indem ich beide Seiten mit −1 multipliziere und erhalte ya−xa=ay−ax. Da die erste Gleichung wahr ist, ist auch die zweite Gleichung wahr und diese Aussage ist gleichbedeutend, wie die Aussage (y,x)∈R×R."

Dass man nach Multiplikation mit

(- 1)

diese Gleichung erhält, ist mir klar. Nicht klar ist mir dagegen, welcher Zusammenhang zwischen einem Paar

(x, y)

und

(y, x)

im Hinblick auf die Durchmultiplikation mit

(- 1)

besteht.

Ich gebe ein Beispiel: Für

a = 1

erfüllt das Paar

(1,2)

die Gleichung. Die Symmetriebedingung verlangt nun, dass dann auch

(2,1)

die Gleichung erfüllt. Tut es auch, wie man durch Einsetzen leicht feststellen kann.

Mir geht es nun um die Frage, was die Durchmultiplikation (Äquivalenzumformung) durch Multiplikation mit der

(- 1)

mit diesem Beispiel zu tun hat. Dieser tiefere Sinn erschließt sich mir nicht (von allein).

Deshalb habe ich Bauchschmerzen, den Beweis anzuerkennen. Es fehlt mir der Bezug des Vorgehens zum Sachverhalt. Denn ich könnte ja nun ganz dreist sagen: Man kann jede Gleichung mit

(- 1)

durchmultiplizieren und das Ergebnis als Beweis verkaufen.

Viele Grüße

von Matze

Sina86

23:29 Uhr, 13.12.2013

Ok, vergessen wir doch mal das Beispiel. Wenn du irgendeine Relation hast und dir ein geordnetes Paar

(x, y) \in R \times R

anschaust, dann gilt per Definition, dass hinter

(x, y) \in R \times R

eine Aussage

A

steckt. Nun möchtest du die Symmetrie der Relation beweisen. Also schaust du erst einmal, welche Aussage

B

hinter

(y, x) \in R \times R

steckt.

Nun kommt die Symmetriebehauptung. WENN

(x, y) \in R \times R

(d.h. WENN Aussage

A

wahr ist), DANN gilt

(y, x) \in R \times R

(d.h. DANN ist auch Aussage

B

wahr). Um die Symmetrie zu beweisen, musst du also die Implikation

A \Rightarrow B

beweisen. Und das ist, was ich getan habe.

In deinem Beispiel ist

A

die Gleichung

x^{a} - y^{a} = a x - a y

und

B

ist

y^{a} - x^{a} = a y - a x

. Die Multiplikation mit

- 1

ist der Beweis der Implikation (sogar noch mehr, der Beweis der Äquivalenz der Aussagen

A

und

B

, aber die Implikation genügt). WIE die Implikation zu beweisen ist, hängt natürlich ganz stark von der Relation ab, die betrachtet wird.

Du kannst jede Gleichung mit

- 1

multiplizieren und das Ergebnis als Beweis verkaufen. Die Frage ist hier, als Beweis wofür. Wenn ich die wahre Aussage

x y = 2 x - y

habe (für irgendein nicht näher bestimmtes Paar

(x, y)

), dann gilt für ebendieses Paar auch die Aussage

- x y = y - 2 x

. Der Beweis dafür ist die Multiplikation der ersten (wahren) Gleichung mit

- 1

anonymous

23:43 Uhr, 13.12.2013

Liebe Sina !

Du schreibst:

"Ok, vergessen wir doch mal das Beispiel. Wenn du irgendeine Relation hast und dir ein geordnetes Paar (x,y)∈R×R anschaust, dann gilt per Definition, dass hinter (x,y)∈R×R eine Aussage A steckt. Nun möchtest du die Symmetrie der Relation beweisen. Also schaust du erst einmal, welche Aussage

B

hinter (y,x)∈R×R steckt.

Nun kommt die Symmetriebehauptung. WENN (x,y)∈R×R

(d . h

. WENN Aussage A wahr ist), DANN gilt (y,x)∈R×R

(d . h

. DANN ist auch Aussage

B

wahr). Um die Symmetrie zu beweisen, musst du also die Implikation A⇒B beweisen. Und das ist, was ich getan habe."

Es ist mir klar, dass es hier darum geht, eine Implikation der Form: Aus A folgt

B

zu beweisen. Die nämlich kommt aus der Definition der Symmetrie. Also eindeutiger Bezug/Zusammenhang zwischen Relationsbedingung/Beweisaufgabe/Definition Symmetriebedigung. Das habe ich locker verstanden.

"In deinem Beispiel ist A die Gleichung xa−ya=ax−ay und

B

ist ya−xa=ay−ax.!

Ja, weil man

x

und

y

vertauscht hat, was ja genau dem entspricht, was man tut, wenn man zu irgendeinem geordneten Paar der Form

(x, y)

das symmetrische Pendant sucht, also

(y, x)

.

"Die Multiplikation mit −1 ist der Beweis...."

Warum ?

"...der Implikation (sogar noch mehr, der Beweis der Äquivalenz der Aussagen A und

B,

aber die Implikation genügt)."

Verstehe ich nicht.

"WIE die Implikation zu beweisen ist, hängt natürlich ganz stark von der Relation ab, die betrachtet wird."

Es geht um die konkrete Einzelfallbetrachtung. KLar. Immer.

"Du kannst jede Gleichung mit −1 multiplizieren und das Ergebnis als Beweis verkaufen. Die Frage ist hier, als Beweis wofür. Wenn ich die wahre Aussage xy=2x−y habe (für irgendein nicht näher bestimmtes Paar

(x, y)),

dann gilt für ebendieses Paar auch die Aussage −xy=y−2x. Der Beweis dafür ist die Multiplikation der ersten (wahren) Gleichung mit −1."

Klar ist das so. Multipliziert man eine Gleichung mit

(- 1)

durch und setzt dann das an

X -

und Y-Achse gespiegelte geordnete Paar ein, dann muss die Gleichung stimmen. Aber warum beweist sie denn, dass aus

(1,2)

folgt

(2,1)

?

Da komme ich nicht mit.....

Gruß Matze

Sina86

00:29 Uhr, 14.12.2013

"Es ist mir klar, dass es hier darum geht, eine Implikation der Form: Aus A folgt B zu beweisen. Die nämlich kommt aus der Definition der Symmetrie. Also eindeutiger Bezug/Zusammenhang zwischen Relationsbedingung/Beweisaufgabe/Definition Symmetriebedigung. Das habe ich locker verstanden."

Schön.

"Ja, weil man x und y vertauscht hat, was ja genau dem entspricht, was man tut, wenn man zu irgendeinem geordneten Paar der Form (x,y) das symmetrische Pendant sucht, also (y,x)."

Korrekt.

"Warum ?"

Weil Gleichung

A

richtig ist und ich die Richtigkeit von Gleichung

B

überprüfen muss. Bei Äquivalenzumformungen einer wahren Gleichung ist das Ergebnis der Umformung auch wahr (nach Def. einer Äquivalenz). Die Multiplikation einer Gleichung auf beiden Seiten mit

- 1

ist eine Äquivalenzumformung (nach Definition der Multiplikation). Mache ich das mit Gleichung

A

, dann erhalte ich Gleichung

B

. Wenn also

A

wahr ist, dann ist auch

B

wahr. Q.E.D.

"Verstehe ich nicht."

Eine Äquivalenz beinhaltet zwei Implikationen:

[A \Leftrightarrow B] \Leftrightarrow [(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)]

. Wir haben bei der Multiplikation mit der

- 1

eine Äquivalenzumformung vorgenommen, also gilt

A \Rightarrow B

und

B \Rightarrow A

. Für den Beweis der Symmetrie genügt die erste Implikation, mehr wollte ich nicht ausdrücken.

"Es geht um die konkrete Einzelfallbetrachtung. KLar. Immer."

Richtig.

"Klar ist das so. Multipliziert man eine Gleichung mit (-1) durch und setzt dann das an X- und Y-Achse gespiegelte geordnete Paar ein, dann muss die Gleichung stimmen."

Nein, du änderst nur die Gleichung, du setzt aber dasselbe Paar

(x, y)

ein. Die Gleichungen

x y = 2 x - y

und

- x y = y - 2 x

sind äquivalent, d.h. ihr Wahrheitsgehalt für DASSELBE Paar

(x, y)

ist haargenau gleich. Oder gröber gesprochen, beide Gleichungen vermitteln exakt die gleiche Information über das Paar

(x, y)

. Z.B. erfüllt das Paar

(x, y) = (1, 1)

die Gleichung. Das Paar

(- 1, - 1)

(also das an

x -

und

y -

Achse gespiegelte Paar) erfüllt diese Gleichungen nicht.

"Aber warum beweist sie denn, dass aus (1,2) folgt (2,1)?"

Tut sie nicht. Vielmehr bezog sich diese Bemerkung auf deinen Satz "Denn ich könnte ja nun ganz dreist sagen: Man kann jede Gleichung mit (-1) durchmultiplizieren und das Ergebnis als Beweis verkaufen." Mir ist aber ehrlich gesagt auch schleierhaft, wie man diesen Teil meines Beitrages missverstehen konnte, wenn man ihn sich genau durchliest.

Vlt mal ein alternatives Beispiel. Betrachte die Relation

(x, y) \in R \times R \Leftrightarrow \frac{x}{y} = x

. Multipliziere ich nun beide Seiten mit

- 1

, so erhalte ich die äquivalente Gleichung

- \frac{x}{y} = - x

. Das beweist aber nicht, dass

(y, x) \in R \times R

. Denn es gilt mit Sicherheit

(0, 2) \in R \times R

, jedoch nicht

(2, 0) \in R \times R

(für letzteres Paar ist die Gleichung

\frac{x}{y} = x

nicht einmal definiert, wegen der Teilung durch

0

).

Beste Grüße
Sina

michaL aktiv_icon

00:29 Uhr, 14.12.2013

Hallo,

ich bin auch nicht sicher, was der OP eigentlich will.

Üblicherweise geht man an einen solchen Beweis ja folgendermaßen heran:
Sei die zu untersuchende Relation mal mit

X

bezeichnet.

Es gelte

(x, y) \in X

. Das muss gemäß Definition präzisiert werden. Es gilt also

x^{a} - y^{a} = a x - a y \overset{}{\Leftrightarrow} - 1 (y^{a} - x^{a}) = - 1 (a y - a x) \overset{}{\Leftrightarrow} y^{a} - x^{a} = a y - a x

.
Letzte Gleichung bedeutet nun aber genau

(y, x) \in X

, was für die Symmetrie zu zeigen war.

Vielleicht hilt dir aber auch, die definierende Gleichung

x^{a} - y^{a} = a x - a y

wie folgt (äquivalent) umzuformen:

x^{a} - a x = y^{a} - a y

Man erkennt also, dass

(x, y) \in X

genau dann gilt, wenn

f (x) = f (y)

für die Funktion

f : x \mapsto x^{a} - a x

gilt.

Funktionen definieren immer eine Äquivalenzrelation auf die Art, dass alle diejenigen Elemente als äquivalent anzusehen sind, deren Funktionswerte gleich sind.

Aber ich wollte eigentllich auf die Symmetrie der Gleichung

x^{a} - a x = y^{a} - a y

hinaus. Vertauschst du nun

x

und

y

, so erhältst du die gleiche Gleichung, bei der nur die Seiten vertauscht sind.
Dass man hier gut von Symmetrie reden kann, ist damit hoffentlich klar.

Mfg Michael

anonymous

00:50 Uhr, 14.12.2013

"Letzte Gleichung bedeutet nun aber genau (y,x)∈X"

Genau das kapier ich nicht.

anonymous

01:12 Uhr, 14.12.2013

Liebe Sina !

Vielen Dank erst einmal, für die zahlreichen Antworten und die Mühen, mir das näher zu bringen. Ich habe jetzt zumindest mal mein Verständnisproblem einkreisen können. Was mir im Augenblick partout nicht klar werden will, ist, warum man mit Hilfe einer Äquivalenzumformung die Eigenschaft der Symmetrie gezeigt/bewiesen hat.

Ich schaffe es im Moment nicht, den Beweischarakter zu erfassen.

Mal sehen, vielleicht klappt es ja morgen. Mich beschleicht ständig das Gefühl, es gäbe noch eine Information, die man braucht, um den Bogen spannen zu können....

Danke Dir erst einmal für die freiwilligen Mühen.

Bis morgen !

Gruß Matze

Sina86

01:14 Uhr, 14.12.2013

Du hast als erstes geschrieben

"Wir wissen, dass eine Relation bestimmte geordnete Paare der Form (x,y) aus dem Kreuzprodukt RxR "selektiert".

Welche werden "selektiert" ? Naja, genau die, die durch die Relationsbedingung "erfasst" werden, also diese erfüllen. Und diese Bedingung heißt:

x^{a} - y^{a} = a x - a y

"

Und ich glaube, um weiter zu kommen, muss ich dir mal eine Frage stellen:

Welche Bedingung muss das Paar

(y, x)

nach Definition der in diesem Beispiel definierten Relation erfüllen, damit

(y, x) \in R \times R

ist?

anonymous

01:16 Uhr, 14.12.2013

Naja, liegt ja auf der Hand. Genau die Bedingung, die man die Relation nennt. Also die gleiche Bedingung, die auch

(x, y)

erfüllen muss.

Sina86

01:21 Uhr, 14.12.2013

Schreib doch bitte mal die Relation für

(y, x) \in R \times R

konkret hin.

anonymous

01:29 Uhr, 14.12.2013

Also die Auswahlbedingung der Relation (die Relation ist ja eine Teilmenge von RxR) lautet folgendermaßen:

x^{a} - y^{a} =

ax - ay

So. Wenn diese Gleichung wahr ist, für irgendein geordnetes Paar

(x, y),

dann ist

(x, y)

Element der Teilmenge aus RxR, die wir Relation nennen.

So. Was muss jetzt

(y, x)

erfüllen ? Natürlich die gleiche Bedingung. Natürlich kann ich diese Bedingung mit

(- 1)

durchmultiplizieren und natürlich ist die Bedingung dann immer noch die gleiche. Das wäre sie auch dann, wenn ich sie mit

5,10,100

oder

1000

durchmultiplizieren würde.

Also kann ich nur deshalb, weil ich durchmultipliziere, keinen Beweischarakter erkennen.

Deshalb will ich anders an die Sache herangehen. Ich vertausche

x

und

y,

weil ich mir ja jetzt nach dem geordneten Paar

(x, y)

das Pendant

(y, x)

anschauen will. Durch vertauschen erhalte ich:

y^{a} - x^{a} =

ay - ax

Naja....damit habe ich ja nur gesagt, was

(y, x)

erfüllen muss. Aber ob es das denn dann auch tut...woher weiß ich das ?

Hm...bin ziemlich ratlos, Sina.

anonymous

01:40 Uhr, 14.12.2013

Sina, ich habe eine Idee...

Wenn die Auswahlbedingung der Relation lautet:

x^{a} - y^{a} =

ax - ay ist wahr für irgendwelche

(x, y)

dann muss

y^{a} - x^{a} =

ay - ax wahr sein für die enstprechenden

(y, x)

.

Das wäre jetzt der Einstieg in meine Schlusskette. Das kann ich ja begründen, warum und wieso.

Wenn ich jetzt

x^{a} - y^{a} =

ax - ay durch Äquivalenzumformung so umstellen kann, dass ich genau diese vertauschte Version herausbekomme, dann wäre das für mich ein Beweis. Denn dann kann ich ja sagen: Ich habe die Relation betrachtet, ich habe die Bedingungen aufgestellt und ich habe durch Äquivalenzumformung gezeigt, dass die Bedingung der Relation beides hergibt.

Könnte man das so machen/sehen ?

Also so könnte ich mir vorstellen, dass das lückenlos ist und vorallem nachvollziehbar. Was meinst Du dazu ?

Sina86

01:47 Uhr, 14.12.2013

Es gilt

(x, y) \in R \times R \Leftrightarrow x^{a} - y^{a} = a x - a y

(dies ist Gleichung

A

).

"So. Was muss jetzt (y,x) erfüllen ? Natürlich die gleiche Bedingung."

Falsch! Streng nach Definition der Relation gilt

(y, x) \in R \times R \Leftrightarrow y^{a} - x^{a} = a y - a x

(dies ist Gleichung

B

).

Es gilt ganz klar

A \neq B

. Wie oben besprochen müssen wir nun zeigen, dass

A \Rightarrow B

, denn dann gilt

(x, y) \in R \times R \Leftrightarrow A \Rightarrow B \Leftrightarrow (y, x) \in R \times R

. Also insbesondere

(x, y) \in R \times R \Rightarrow (y, x) \in R \times R

. Durch die Multiplikation der Gleichung

A

auf beiden Seiten mit

- 1

erhalten wir

B

. Wie oben diskutiert, gilt also

A \Leftrightarrow B

und damit insbesondere

A \Rightarrow B

. Das ist der Beweis.

Du hast doch geschrieben, dass du weißt, was eine Implikation ist. Und hier ist doch

(x, y) \in R \times R

die Voraussetzung. Also ist Gleichung

A

nach Voraussetzung wahr. Zu zeigen ist doch nun nur, dass unter dieser Voraussetzung

(y, x) \in R \times R

gilt, also die Gleichung

B

wahr ist und nichts anderes wird hier mit der Äquivalenzumformung getan.

Vielleicht ist das hiesige Beispiel auch zu einfach, so dass alles zu offensichtlich ist. Aber zunächst einmal (wenn man sich ganz dumm stellt) ist nicht bekannt, ob Gleichung

B

eine wahre Aussage ist. Durch eine Äquivalenzumformung kann ich sie aber auf eine wahre Aussage zurückführen und somit ist ihre Wahrheit bewiesen und das ist prinzipiell erst einmal ein nicht-trivialer Schritt.

Nun, vielleicht ist es mittlerweile doch etwas zu spät, aber ich kann es nicht noch detailierter ausführen :-) Daher klinke ich mich erst einmal für heute aus.

Gute Nacht und vlt bis morgen,

Sina

Sina86

01:48 Uhr, 14.12.2013

Mein letzter Post bezieht sich nicht auf deinen letzten Post davor. Da hast du es nämlich genau richtig erkannt ;-)

anonymous

01:56 Uhr, 14.12.2013

Vielen Dank Sina ! Es besteht meinerseits noch Bedarf, das Thema noch etwas zu vertiefen...also mein Vorschlag, wenn Du morgen Vormittag Zeit und Muse hast, dann schauen wir uns das noch mal an, vielleicht auch für andere Fälle.

Danke Dir sehr herzlich und wünsche gute Nacht. Schlaf gut.

Mathias

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