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Nachweis einer Stammfunktion durch Differenzieren

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Differenzieren, Exponentialfunktion, Rückschluss

Lotte11 aktiv_icon

17:20 Uhr, 28.03.2011

Zeigen Sie mit Hilfe des Nachweises durch Differenzieren , dass

F (x) = (x^{2 - x}) \cdot e^{2} x

eine Stannfunktion von

f (x) = (2 x^{2} - 1) \cdot e^{2} x

ist.

Gesucht ist eine Stammfunktion

F

von

f (x) = (2 x + 3) \cdot e^{x}

. Differenzieren Sie

f

zweimal und schließen Sie aus

f, f', f''

auf

F

zurück.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

17:57 Uhr, 28.03.2011

Hallo Lotte,

heißt das da wirklich

e^{2}

multipliziert mit

x

oder

e^{2 x}

?

Alles Gute

Atlantik

macciato aktiv_icon

18:24 Uhr, 28.03.2011

zur zweiten Frage:

f (x) = (2 x + 3) \cdot e^{x}

f' (x) = e^{x} \cdot (5 + 2 x)

f'' (x) = e^{x} \cdot (7 + 2 x)

F (x) = e^{x} \cdot (1 + 2 x)

Lotte11 aktiv_icon

21:12 Uhr, 28.03.2011

Danke für die Antwort.

Es heißt bei allen Formeln

e

hoch

2 x

Lotte11 aktiv_icon

21:13 Uhr, 28.03.2011

Vielen Dank macciato.

Könntest du mir bitte auch erklären wie man auf die Lösungen kommt?

macciato aktiv_icon

21:26 Uhr, 28.03.2011

ich wende die produktregel an, also:

u' v + v' u

hier ist:

u = (2 x + 3)

und

v = e^{x}

und

u' = 2

und

v' = e^{x}

damit erhältst du die ableitungen

Lotte11 aktiv_icon

21:33 Uhr, 28.03.2011

aber ich kann nicht so ganz nachvollziehen wie du dann auf die 5 bzw die 7 kommst.
sorry falls ich irgendwie schwer bin^^

macciato aktiv_icon

21:44 Uhr, 28.03.2011

das ist doch kein Problem ;-)
die 2 kommen jedes mal wenn du ableitest neu dazu, weil sie die ableitung von dem term

2 x + 3

sind

Lotte11 aktiv_icon

21:47 Uhr, 28.03.2011

genau, die ableitung bekomme ich ja noch hin.
aber wenn ich die formel von dir anwende komme ich immer auf(2x+3)*2ex

weil es ja heißt u´v+v´u
und das wäre ja demnach:

2 e^{x} + (2 x + 3) \cdot e^{x}

daraus wird dann beim zusammenrechnen

(2 x + 3) \cdot 2 e^{x}

macciato aktiv_icon

21:55 Uhr, 28.03.2011

ich glaube du hast beim ausklammern einen Fehler, ich habe jedenfalls:

f' (x) = 2 e^{x} + e^{x} \cdot (2 x + 3)

= e^{x} \cdot (2 + 2 x + 3)

da siehst du dann immer die 2

= e^{x} \cdot (5 + 2 x)

Lotte11 aktiv_icon

22:00 Uhr, 28.03.2011

aber wird nicht aus

2 e^{x} + e^{x} = 3 e^{x}

und die 3 müsste dann in die klammer?

macciato aktiv_icon

22:01 Uhr, 28.03.2011

Punkt vor Strich!

Lotte11 aktiv_icon

22:13 Uhr, 28.03.2011

ich hab noch eine frage zu meiner rechnung

2 e^{x} + e^{x} \cdot (2 x + 3)

= 2e^x*(2ex^x

+ 3 e^{x})

kann ich dann hier die

e^{x}

wegkürzen?

= 2 e^{x} \cdot (2 x + 3)

= e^{x} \cdot (2 x + 5)

is das so richtig?

macciato aktiv_icon

22:29 Uhr, 28.03.2011

deine zweite zeile ist nicht richtig, wie sie da steht. das ist eine summe!
und kürzen kannst du da eigentlich nichts.
guck mal ein paar einträge da drüber, da habe ich dir ja schon die 1.ableitung ausführlich hingeschrieben, beim zweiten schritt wird da ausgeklammert.

Lotte11 aktiv_icon

22:37 Uhr, 28.03.2011

Okay vielen Dank.
Ich werde es mal versuchen.
Entschuldige, dass ich dir deine Zeit genommen hab

macciato aktiv_icon

22:38 Uhr, 28.03.2011

ich helfe dir gerne!frag ruhig, wenn du noch was wissen möchtest!

Lotte11 aktiv_icon

22:43 Uhr, 28.03.2011

also wäre jetzt:

2 e^{x} + e^{x} \cdot (2 x + 3)

= 2e^x+2xe^x+3e^x würde ich nur ein

e^{x}

ausklammern blieben ja 2 innerhalb der klammer

= e^{x} \cdot (2 + 2 x + 3)

aber wieso wird denn aus den

3^{x}

die ich ausklammer im 2. schritt vor der klammer nur ein

e^{x}

und nich 3

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