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Nachweis eines Skalarprodukts

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Tags: Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

Florentine1996 aktiv_icon

15:54 Uhr, 16.12.2015

Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
Ich muss prüfen, ob folgendes Skalarprodukt gegeben ist:

x^{T} \cdot A^{T} \cdot A \cdot y

für

x, y

aus

R_{n}

und A aus R^(nxn)

Ich weis nicht wie Symmetrie, Definitheit und Linearität nachweisen kann in diesem Fall

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Florentine1996 aktiv_icon

20:42 Uhr, 16.12.2015

Kann mir niemand helfen???

DrBoogie aktiv_icon

21:07 Uhr, 16.12.2015

Linearität:

(a x_{1} + b x_{2})^{T} A^{T} A y = a x_{1}^{T} A^{T} A y + b x_{2}^{T} A^{T} A y

x A^{T} A (a y_{1} + b y_{2}) = a x A^{T} A y_{1} + b x A^{T} A y_{2}

- folgt aus den Basiseigenschaften der Matrixmultiplikation

Symmetrie:

x^{T} A^{T} A y

ist eine Zahl, daher

x^{T} A^{T} A y = (x^{T} A^{T} A y)^{T} = y^{T} A^{T} A x

Positiv semidefinit:

x^{T} A^{T} A x = < A x, A x > \geq 0

für das Standardskalarprodukt

<, >

.
Positiv definit nur, wenn

A

nicht entartet ist. Aus

< A x, A x > = 0

folgt immer

A x = 0

und
wenn

A

nicht entartet ist, auch

x = 0

Florentine1996 aktiv_icon

21:46 Uhr, 16.12.2015

Danke Dr Boogie..ich komme mit diesen SKP nicht zu recht:
Ich habe noch 2 Probleme:
Ich weis nicht wie ich komplexen Bereich und auch im rellen vorgehen soll:
ich habe folgendes:
1.
2x1y(komplex kojugiert)-2ix1y2(komplex konjugiert+2ix2y1(komplex konjugiert)+6x2y2(komplex konjugiert)
2.

2 x 1 y 1 + 2 x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 + 3 x 3 y 3

Ich kann mir das nicht vorstellen...mir fehlt halt das Beispiel...einmal gezeigt dann weis ich wie das geht...wäre echt nett wenn du mir helfen würdest.
Die Aufgabe schafft mich wirklich

: (

DrBoogie aktiv_icon

21:47 Uhr, 16.12.2015

Stell bitte die Aufgabe so, dass man sie auch verstehen kann.

Florentine1996 aktiv_icon

21:48 Uhr, 16.12.2015

das mit dem komplex konjugiert bezieht sich immer auf das Element davor ...ich kann diesen Strich drüber nicht machen...sorry

: (

Florentine1996 aktiv_icon

21:51 Uhr, 16.12.2015

2x_1y_1(komplex kojugiert)-2ix_1y_2(komplex konjugiert)+2ix_2y_1(komplex konjugiert)+6x_2y_2(komplex konjugiert)

verstehst du hoffentlich alles??

DrBoogie aktiv_icon

21:52 Uhr, 16.12.2015

Nein, ich kann das nicht lesen. Poste das Bild, wenn Du nicht schaffst, Formeln zu schreiben.

Florentine1996 aktiv_icon

22:04 Uhr, 16.12.2015

Ich hoffe es ist besser

DrBoogie aktiv_icon

22:27 Uhr, 16.12.2015

Linearität:

< a x + b z, y > = < (a x_{1} + b z_{1}, a x_{2} + b z_{2}, a x_{3} + b z_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3}) > =

= 2 (a x_{1} + b z_{1}) y_{1} + 2 (a x_{1} + b z_{1}) y_{2} + 2 (a x_{2} + b z_{2}) y_{1} + (a x_{2} + b z_{2}) y_{2} + 3 (a x_{3} + b z_{3}) y_{3} =

= a (2 x_{1} y_{1} + 2 x_{1} y_{2} + 2 x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2} + 3 x_{3} y_{3}) + b (2 z_{1} y_{1} + 2 z_{1} y_{2} + 2 z_{2} y_{1} + z_{2} y_{2} + 3 z_{3} y_{3}) =

= a < x, y > + b < z, y >

Symmetrie:

< x, y > = 2 x_{1} y_{1} + 2 x_{1} y_{2} + 2 x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2} + 3 x_{3} y_{3} = 2 y_{1} x_{1} + 2 y_{1} x_{2} + 2 y_{2} x_{1} + y_{2} x_{2} + 3 y_{3} x_{3} =

= < y, x >

Positiv definit:

< x, x > = 2 x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2}

und das ist nicht immer

\geq 0

.
Beispiel:

x = (- 1, 1, 0)

. Also ist

<, >

nicht positiv definit und daher kein Skalarprodukt.
Eigentlich konnte man die Prüfung der Linearität und der Symmetrie aus diesem Grund sparen.

DrBoogie aktiv_icon

22:37 Uhr, 16.12.2015

Linearität und Symmetrie geht genauso im komplexen Fall.
Positiv definit:

< x, x > = 2 ∣ x_{1} ∣^{2} - 2 i x_{1} \overline{x_{2}} + 2 i \overline{x_{1}} x_{2} + 6 ∣ x_{2} ∣^{2} = 2 ∣ x_{1} ∣^{2} - 2 R e (i x_{1} \overline{x_{2}}) + 6 ∣ x_{2} ∣^{2} \geq

\geq 2 ∣ x_{1} ∣^{2} - 2 ∣ x_{1} ∣ ∣ x_{2} ∣ + 6 ∣ x_{2} ∣^{2} = ∣ x_{1} ∣^{2} + (∣ x_{1} ∣ - ∣ x_{2} ∣)^{2} + 5 ∣ x_{2} ∣^{2} \geq 0

.
Und da

∣ x_{1} ∣^{2} + (∣ x_{1} ∣ - ∣ x_{2} ∣)^{2} + 5 ∣ x_{2} ∣^{2}

x_{1} = x_{2} = 0

, haben auch

< x, x > = 0

x = 0

.

Damit ist es ein Skalarprodukt.

Florentine1996 aktiv_icon

22:54 Uhr, 16.12.2015

Danke für die ausführliche Antwort :-)
muss ich dann im komplexen Fall irgendwas beachten bei Linearität und Symmetrie.,,ich weis halt nicht wie es formal genau aussehen soll

DrBoogie aktiv_icon

22:59 Uhr, 16.12.2015

Im komplexen Fall muss man die Konjugation berücksichtigen, mehr nichts. Versuche es, vielleicht schaffst Du das.

Florentine1996 aktiv_icon

23:19 Uhr, 16.12.2015

sorry ich komme im komplexen Fall nicht darauf...ich habe halt noch nie ein Beispiel gesehen...kannst du mir bitte helfen

DrBoogie aktiv_icon

23:24 Uhr, 16.12.2015

Versuche es!
Du lernt sonst nie was. Mache dasselbe, was ich im reellen gemacht habe. Dann wirst Du sehen, ob es klappt. Wenn Du mit komplexen Zahlen Probleme hast, dann lerne sie.

Florentine1996 aktiv_icon

23:26 Uhr, 16.12.2015

ich habe noch ein 2. Beispiel mit komplexen Zahlen...wenn ich es einmal sehen würde könnte ich es anwenden ...nur einmal bräuchte ich das konkrete Beispiel

: (

DrBoogie aktiv_icon

23:29 Uhr, 16.12.2015

Du musst es versuchen. Punkt. Es ist absolut trivial.
Zeige Deinen Versuch.

Florentine1996 aktiv_icon

23:45 Uhr, 16.12.2015

So richtig

DrBoogie aktiv_icon

07:16 Uhr, 17.12.2015

So nicht. Bei komplexen Skalarprodukten ist Symmetrie durch

< x, y > = \overline{< y, x >}

definiert.

Florentine1996 aktiv_icon

07:49 Uhr, 17.12.2015

d . h

die Symmtrie ist erfüllt...jetzt fehlt nur noch die Linearität..ich tue mich immer noch schwer diese zu verstehen oder formal aufzuschreiben

: (

Florentine1996 aktiv_icon

08:32 Uhr, 17.12.2015

ich komme wirklich nicht darauf...kannst du es mir zeigen

: (

DrBoogie aktiv_icon

09:19 Uhr, 17.12.2015

< a x + b z, y > = < (a x_{1} + b z_{1}, a x_{2} + b z_{2}), (y_{1}, y_{2}) > =

= 2 (a x_{1} + b z_{1}) \bar{y_{1}} - 2 i (a x_{1} + b z_{1}) \bar{y_{2}} + 2 i (a x_{2} + b z_{2}) \bar{y_{1}} + 6 (a x_{2} + b z_{2}) \bar{y_{2}} =

= a (2 x_{1} \bar{y_{1}} - 2 i x_{1} \bar{y_{2}} + 2 i x_{2} \bar{y_{1}} + 6 x_{2} \bar{y_{2}}) + b (2 z_{1} \bar{y_{1}} - 2 i z_{1} \bar{y_{2}} + 2 i z_{2} \bar{y_{1}} + 6 z_{2} \bar{y_{2}}) = a < x, y > + b < z, y >

Und wo war hier überhaupt irgendwelche Schwierigkeit? Es geht doch absolut genauso wie im reellen Fall!

Was studierst Du übrigens überhaupt? Und warum?

Florentine1996 aktiv_icon

09:21 Uhr, 17.12.2015

Ich studiere Physik...unser Professor war 2 wochen krank. Wir hatten keine Vorlesung.Deshalb habe ich bisschen Probleme damit

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09:27 Uhr, 17.12.2015

Komplexe Zahlen sind für Physiker A und O. Nimm Dir Zeit und lerne sie besser, dann wirst Du keine Angst vor ihnen haben. Und Vorlesungen sind sowieso überflüssig, es gibt genug Bücher und Skripte. Ich hatte in meinem Studium kaum Vorlesungen besucht. Und damals gab's noch kein Internet!

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09:32 Uhr, 17.12.2015

Das muss ich wirklich machen...ich habe noch ein SKP...stimmt der Nachweis...ich hoffe ich kann es jetzt

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09:32 Uhr, 17.12.2015

Das muss ich wirklich machen...ich habe noch ein SKP...stimmt der Nachweis...ich hoffe ich kann es jetzt

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09:55 Uhr, 17.12.2015

Ich sehe nichts.

Florentine1996 aktiv_icon

09:57 Uhr, 17.12.2015

ich kann irgendwie kein Foto hochladen
ich habe SKP:

x_{1} y_{1} \cdot + x_{1} y_{2} \cdot + x_{2} y_{2}

der Punkt steht für komplex konjugiert

das ist meiner Meinung nach kein SKP, da es nicht definit ist:
denn

{(x_{1})}^{2} + x_{1} x_{2} + {(x_{2})}^{2}

z . b

für

x = (1, - i)

stimmt das ?

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10:01 Uhr, 17.12.2015

\bar{x_1} macht den Strich oben

So:

x_{1} \bar{y_{1}} + x_{1} \bar{y_{2}} + x_{2} \bar{x_{2}}

?
Das ist nicht symmetrisch, auch nicht positiv definit (wenn es nicht symmetrisch ist, ist es auch automatisch nicht positiv definit)

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10:05 Uhr, 17.12.2015

x_{1} \bar{y_{1}} + x_{1} \bar{y_{2}} + x_{2} y_{2}

Das ist SKP

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10:07 Uhr, 17.12.2015

Immer noch nicht symmetrisch.

Florentine1996 aktiv_icon

10:10 Uhr, 17.12.2015

weil gilt

\bar{x_{1}} y_{1} + \bar{x_{1}} y_{2} + \bar{x_{2}} \bar{y_{2}}

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10:16 Uhr, 17.12.2015

Was soll das bedeuten? Eine Summe kann gar nicht gelten. Gelten kann nur eine Gleichung oder eine Aussage.

Nicht symmetrisch, weil z.B.

< (0, 1), (0, i) > \neq \bar{< (0, i), (0, 1) >}

Florentine1996 aktiv_icon

10:22 Uhr, 17.12.2015

sorry..ich habe es schlampig aufgeschrieben...aber ich habe es jetzt verstanden...danke
ich habe eine generelle Frage...gelten Satz des Pythagoras und die Parallelogrammidentiät im unitären Vektorraum und der Kosinussatz nur im euklidischen...kann man das so sagen?

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10:26 Uhr, 17.12.2015

Nein, kann man nicht.
Aber so allgemein ist die Frage auch ziemlich sinnlos.

Florentine1996 aktiv_icon

10:28 Uhr, 17.12.2015

oder wenn im euklidischen Vektorraum Kosinussatz Parallelogrammidentiät und Satz des Pythagoras gelten...was gilt dann im unitären Vekorraum?

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10:29 Uhr, 17.12.2015

Ich verstehe die Frage nicht. Pythagoras Satz gilt doch überall.

Florentine1996 aktiv_icon

10:31 Uhr, 17.12.2015

ich würde gerne wissen, welche von den 3 Sachen im unitären Vektorraum gelten

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10:35 Uhr, 17.12.2015

Du willst vermutlich das wissen:
http://www.onlinemathe.de/forum/Unitaerer-Vektorraum
Die Antwort ist auch da.

Florentine1996 aktiv_icon

10:36 Uhr, 17.12.2015

Parallelogrammidentität und Pythagoras gehen im unitären Vekorraum da sich das komplex konjugierte durch die Quadrate aufhebt...der kosinussatz dann eben nicht
ist das richtig??

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10:46 Uhr, 17.12.2015

Das ist für mich nicht ausreichend als Begründung.
Aber Du kannst selber dies untersuchen.
Z.B. Pythagoras:

u ⊥ v

< u, v > = 0

und

< v, u > = \bar{< u, v >} = \bar{0} = 0

,
daraus

∥ u + v ∥^{2} = < u + v, u + v > = < u, u > + < u, v > + < v, u > + < v, v > = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2}

Florentine1996 aktiv_icon

01:06 Uhr, 20.12.2015

Vielen Dank nochmal für deine ausführliche Hilfe.

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