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Nachweis für globale Extremstellen
Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe
Tags: Extrema
 
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Also ich soll einen Nachweis für globale Extremstellen erbringen. Die lokalen Extremstellen habe ich bereits errechnet. f(x)=0,5x³-3x+2 hat T(sqrt2|-0,83) ; H(-sqrt2|4,83) der Nachweis für ein globales Minimum ist f(x)f(x0) 0,5x³-3x+20,5*sqrt 2 ³-3*sqrt2+2 0,5x³-3x+22-2sqrt2
und weiter komme ich nicht...es ist dazu nur ein beispiel im buch anhand einer funktion 2.Grades. Wie löse ich diese Ungleichung aber bei einer Funktion 3. oder 4. Grades auf??? Danke im Voraus. |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hier kommt es darauf an, ob der Definitionsbereich (künstlich) eingeschränkt wurde. Ist die Definitionsmenge z.B. ein Intervall, müssen die Funktionswerte an den Rändern mit denen der lokalen Extremwerte verglichen werden. Ist die Definitionsmenge IR, gibt es aufgrund des Grenzverhaltens von f keine globalen Extremwerte. lim(x-> +unendlich) = +unendlich lim(x-> -unendlich) = -unendlich (Polynom 3. Grades!) |
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| es ist nicht eingegrenzt durch ein Intervall...wie ist das bei einer funktion 4. grades? da gibt es dann globale extremstellen??? |
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Ja, je nachdem ob der Vorfaktor von x^4 positiv oder negativ ist, gibt es: falls negativ: mindestens ein lokales und globales Maximum, da limes(x-> +- unendlich) = - unend. falls piositiv: mindestens ein lokales und globales Minimum. |
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gut dann bleibt jetzt für mich noch die frage wie ich die ungleichung löse wenn ich eine funktion 4. grades da stehen habe. f(x)=x^4-4x³+4x² dann hab ich die Ungleichung zur Erweiserbringung : x^4-4x³+4x²<(-4)^4-4*(-4)³+4*(-4)² x^4-4x³+4x²<64 wie mach ich das? denn der Nachweis der globalen Extremstellen soll in der form erbracht werden. |
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Die Ungleichung ist für Schüler nicht lösbar. Der Nachweis geht über die 1. Ableitung: limes(x->+-unendl.) = + unendlich. Das heißt, es gibt kein globales Maximum, aber mindestens ein globales Minimum. Dieses muss aufgrund der Stetigkeit der Funktion und des obengenannten Grenzverhaltens ein lokales sein, also eine horizontale Tangente besitzen. f'(x) = 4x^3-12x^2+8x = 4x (x^2-3x+2) = 4x(x-2)(x-1) = 0. In Frage kommen also nur x =0, x=1 und x=2. Vergleiche die Funktionswerte dieser 3 Stellen und Du findest das globale Minimum. Kommt ein Funktionswert doppelt vor, gibt es mehr als ein globales Minimum. |
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| oki danke ich hoffe ich hab es jetzt verstanden =) |
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