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Nachweis und Berechnung der Periodizität

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Wolf-Uwe-Gordon aktiv_icon

16:58 Uhr, 25.05.2011

Hallo,
bei einer Funktionsuntersuchung bin ich auf eine periodische Funktion gestoßen, bei der ich die Periodizität nachweisen soll und sie danach berechnen. Leider habe ich keine Ahnung wie das funktioniert. könnt ihr mir helfen?

Blima aktiv_icon

18:13 Uhr, 25.05.2011

Ich kenne mich selber damit nicht aus, aber da dir noch keiner geantwortet hat, grübel ich mal mit dir zusammen. Was hältst du davon, die Extrempunkte zu ermitten. Ich weiß ja nicht, wie die Funktion aussieht, aber es könnte ja sein, dass du bei der Ermittlung der Nullstellen entdeckst, dass sie periodisch verlaufen. oder bei den WP oder HP/TP. (???)^^

michaL aktiv_icon

18:41 Uhr, 25.05.2011

Hallo,

eine wirklich gute Methode wäre es, wenn du/ihr die Aufgabenstellung kekannt gäbt, denn meine Kristallkugel ist grad bei der Reparatur und ohne kann ich wirklich nicht hellsehen...

Mfg Michael

Wolf-Uwe-Gordon aktiv_icon

19:41 Uhr, 25.05.2011

@Michal es muss ja einen allgemeinen Lösungsweg geben, aber für dich die Aufgabenstellung:
Gegeben sei die Funktion

f (x) = ln (2 (1 + sin (x)))

. Zeigen sie dass

f

periodisch ist und finden sie die Periode.

Blima aktiv_icon

20:04 Uhr, 25.05.2011

hmmm... Maximum im Punkt

(\frac{1}{2} \cdot π | 1,3862)

Nullstellen bei:

x =

−8,9011,

x =

−6,8067,

x =

−2,6179,

x =

−0,5235,

x = 3,6651,

x = 5,7595,

x = 9,9483

laut Programm. Kannst du damit etwas anfangen?

Bummerang

20:14 Uhr, 25.05.2011

Hallo,

f (x) = ln (2 \cdot (1 + sin (x)))

Die Sinusfunktion ist periodisch zu

2 \cdot π,

damit wird das Argument im Logarithmus ebenfalls periodisch zu

2 \cdot π

und damit muss auch

f

periodisch zu

2 \cdot π

sein. Beweis:

f (x + 2 \cdot k \cdot π)

= ln (2 \cdot (1 + sin (x + 2 \cdot k \cdot π)))

= ln (2 \cdot (1 + sin (x)))

= f (x)

So einfach ist es gemeit gewesen!

Wolf-Uwe-Gordon aktiv_icon

23:21 Uhr, 25.05.2011

Danke für die Antworten. Was mache ich wenn ich die Periodizität nicht sofort erkenne? Wie kann ich sie dann berechnen?
wenn ich zeigen soll, dass die Funktion periodisch ist, reicht es dann aus zu zeigen, das f(x)=f(x+k*Periode) ist?

Bummerang

00:41 Uhr, 26.05.2011

Hallo,

es gibt periodische Grundfunktionen. Diese bringen ihre Periode mit ein. Ma muss anhand ihres Auftretens eine Periode ermitteln, step by step. Mit der von Dir angegebenen Berechnung zeigst Du dann, dass Deine vermutete Periode auch eine Periode ist. Was Du damit aber nicht zeigen kannst, war hier in Deiner Aufgabe aber auch nicht gefordert, dass es sich dann dabei um die kleinste Periode handelt. Will man das noch nachweisen, muss man weiter gehen. An diesem Beispiel:

Sei

p

mit

0 < p < 2 \cdot π

die kleinste Periode, dann gilt:

f (x + k \cdot p) = f (x)

ln (2 \cdot (1 + sin (x + k \cdot p))) = ln (2 \cdot (1 + sin (x)))

Wegen der strengen Monotonie der Logarithmusfunktionen muss dann gelten:

2 \cdot (1 + sin (x + k \cdot p)) = 2 \cdot (1 + sin (x)) | / 2

1 + sin (x + k \cdot p) = 1 + sin (x) | - 1

sin (x + k \cdot p) = sin (x)

Das kleinste positive

p,

für das das (für alle

x!)

gilt ist

p = 2 \cdot π

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