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Näherung von P mit Stirling-Formel

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Erwartungswert

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Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Niffty aktiv_icon

19:53 Uhr, 04.11.2019

Aufgabe: "Für n ∈ N sei

X^{(n)}

= (

X_{1}^{(n)}

X_{2}^{(n)}

X_{3}^{(n)}

) multinomialverteilt mit den Parametern 3n ;

\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

. Berechne die Näherung von (

X_{1}^{(n)}

X_{2}^{(n)}

X_{3}^{(n)} = n

) mit der Stirling-Formel."

Es beschämt mich gerade zu mit einer Aufgabe, deren Lösung man wahrscheinlich durch simples Googeln herausfindet, hier heranzutreten, doch ich komme leider partout nicht weiter, wie zahme Hunde.

In unserem Manuskript befindet sich folgende Formel

k!

\approx

\sqrt{2 π k}

(\frac{k}{e})^{k}

Laut unserem Tutor wäre es "stupides Einsetzen, so einfach, dass ich Pipi machen muss". Mir fällt hier bei Gott nicht ein, was ich in diese Formel einsetzen muss und wie in das in Verbindung mit der Aufgabenstellung bringen soll.

kann jemand bitte kurz etwas Licht ins Dunkle bringen?

Liebe Grüße,
Niffty

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

21:53 Uhr, 04.11.2019

Hallo,

die Funktion ist

f (n) = \frac{(3 n)!}{n! \cdot n! \cdot n!} \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} \cdot {(\frac{1}{3})}^{n}

Die Stirlingformel

n! \approx n^{n} \cdot e^{- n} \cdot \sqrt{2 \cdot π \cdot n}

jeweils auf

(3 n)!

und

n!

anwenden.

Als Ergebnis sollte, für ein großes

n

f (n) \approx \frac{\sqrt{3}}{2 π \cdot n}

herauskommen.

Gruß

pivot

Niffty aktiv_icon

23:47 Uhr, 04.11.2019

Danke für die Antwort, Pivot.

Was genau meinst du mit "auf (3n)! und n! anwenden"?

sollen die Werte in die Stirling-Formeln eingesetzt werden. Dann käme aber für die Werte 3n! und n! die Ergebnisse

n!

\approx

n^{n}

e^{- n}

\sqrt{2 * π * n}

und

3n!

\approx

3 n^{3 n}

e^{- 3 n}

\sqrt{2 * π * 3 n}

raus. Soll das jetzt miteinander verrechnet werden (addieren, multiplizieren, umformen)? Wie genau kommt man von diesen beiden Rechnungen zu

\frac{\sqrt{3}}{2 * π * n}

pivot aktiv_icon

00:10 Uhr, 05.11.2019

Soweit richtig. Eine kleine formale Sache: Es ist

(3 n)!

anstatt

3 n!

Tipp 1: Bei der Formel für

(3 n)! = . . .

den Faktor

\sqrt{3}

ausklammern. Dann kann man nämlich

\sqrt{2 \cdot π \cdot n}

einmal kürzen.

Tipp 2:

n! \cdot n! \cdot n! = \dots

als Produkt aufschreiben.

Zeig mal wie weit du dann gekommen bist. Du kannst auch das entsprechende Schriftstück hochladen. Am Besten als jpg-Datei speichern.

Anm.: Ich war im falschen Modus. Deswegen hat es ein bisschen gedauert bis die Antwort gut lesbar war.

Niffty aktiv_icon

09:54 Uhr, 05.11.2019

Sorry, für die Frage, aber soll jetzt der erste oder der zweite Term umgeformt werdedn? Also

Also ist n!