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Näherungsformel

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Tags: Vereinfachung

KwasPoser aktiv_icon

16:07 Uhr, 17.01.2020

Wie kommt man zu folgender Vereinfachung? Taylorreihe?, Unendliche geometrische Reihe ?

\frac{1}{1 + ε} = 1 - ε

ε l l 1

Sorry, aber dies wurde in einer Aufgabe so angenommen und mich macht es wahnsinnig, wenn ich es selber nicht herleiten kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:10 Uhr, 17.01.2020

Hallo
Taylorreihe bzw Ersatz durch die Tangente bei 0

f (x)

approx=

f (0) + f' (0) \cdot x)

oder

\frac{1}{1 + x} = \frac{1}{1 - x} \Rightarrow 1 = 1 - x^{2}

also nur ein Fehler von

x^{2}

Gruß ledum

anonymous

18:03 Uhr, 17.01.2020

Oder:

\frac{1}{1 + ε} = \frac{1}{1 + ε} \cdot \frac{1 - ε}{1 - ε} = \frac{1 - ε}{1 - ε^{2}}

Höchst wahrscheinlich soll die Formel vorwiegend für kleine Werte von

ε

gelten.
Vermutlich wolltest du das in deinem

ε

ll 1
auch ausdrücken, und sollte vielleicht simpel

ε 〈 1

heißen.

Falls ja, also wenn

ε

(Betrags-) klein ist, dann ist

ε^{2}

erst recht klein.

Dann kann man (sehr gut) näherungsweise vereinfachen:

... = \frac{1 - ε}{1 - ε^{2}} =

ca.

\frac{1 - ε}{1 - 0} = 1 - ε

anonymous

18:05 Uhr, 17.01.2020

Oder:
Polynomdivision...

abakus

18:08 Uhr, 17.01.2020

Für kleine

ε

gilt

1 + ε \approx 1

und

1 - ε \approx 1

und somit wegen der dritten binomischen Formel

(1 + ε) (1 + ε) = 1 - ε^{2} \approx 1

.
Dividiert man das durch

(1 + ε)

, hat man deine Näherungsgleichung.

anonymous

18:18 Uhr, 17.01.2020

Oh je, oh je...
Lass dich von Abakus' schlampiger Ausführung und Begründung nicht verwirren.
Er meint guten Willens das Gleiche, das ich um

18 : 03 h

zum Ausdruck bringen wollte.

KwasPoser aktiv_icon

14:40 Uhr, 19.01.2020

Vielen Dank, für die vielen Antworten.

ja ich meinte

ε 〈 1

nur leider hatte der Latexeditor "\ll" nicht verstanden.

@11engleich:
Ich könnte doch genauso dann mit

\frac{1 + ε}{1 + ε}

den Term erweitern.

Guckt euch bitte die vorletzte Gleichung in folgendem Wikipedia Eintrag "Linearisierung\Division" an.
de.wikipedia.org/wiki/Linearisierung#Division

Dort kommt man von der "unendlich geometrischen Reihe" auf die Vereinfachung.

Ist die Vereinfachung einfach durch die Multiplikation von

\frac{1 - q}{1 - q}

erreicht wurden?

Vielen Dank nochmal für eine Rückmeldung.

anonymous

15:23 Uhr, 19.01.2020

"Ich könnte doch genauso dann mit

(1 + ε)

den Term erweitern."
Du könntest auch mit

+ 1 - 1

plus minus addieren/subtrahieren.
Du könntest auch morgen zum Frühstück Müsli essen.
Das darfst du gerne tun. Um zu verstehen, wozu, müsstest du verständlich machen, was du damit erreichen willst.

zu dem Beispiel in Wikipedia:
Hier ist auch der Ausgangsterm benannt.
Und hier ist auch die vereinfacht linear angenäherte Endgleichung benannt.
Vom Ausgangsterm zur vereinfacht linear angenäherten Endgleichung könnte man

z . B

>

auf Ledums Weg über die Taylorreihe,

>

auf dem Weg über die Erweiterung mit

(1 - ε)

>

durch Polynomdivision

>

oder wahrscheinlich auf Dutzenden anderen Wegen
kommen.
Der Weg ist auch in Wikipedia nicht näher eingeschränkt.

Allen Wegen gemeinsam ist - und das ist typisch für die Mathematik: Solange man nichts falsch macht, kommt immer das gleiche, das Richtige raus.

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