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Näherungsverfahren zur Berechnung von Flächeninhalten
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 18:23 Uhr, 20.01.2007  |
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Hallo, ich halte nächsten Donnerstag eine GFS (Präsentation) zu diesem Thema. Dummerweise habe ich nur das Thema ohne Hintergrundsinformation bekommen. Das Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiss was verlangt wird. Mir würde nur das Newtonsche Näherungsverfahren einfallen. Wisst ihr mehr? Danke schonmal! |
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anonymous 18:40 Uhr, 20.01.2007 |
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| Die Newtoniteration führt dich aber zu Nullstellen, nicht zu Flächeninhalten. Interessante Stichworte für dich sind "Polynominterpolation" und "Quadraturformeln" (Trapez- und Simpsonregel sind die bekanntesten). | |
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12-te Klasse?! - Integralrechnung steht bevor?! - Da denke ich an die Ausschöpfung unter einem Graphen durch schmaler werdende Rechtecke. - Ganz anderes Verfahren wäre eine´Monte-Carlo-Methode... Rechteck drumherumbauen und zufällige Treffer landen. -Steele- |
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anonymous 19:59 Uhr, 20.01.2007 |
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| vielen dank für die schnellen antworten. das Newton-Verfahren ist wohl wirklich nicht so geeingnet für die Bestimmung eines Flächeninhaltes. Wobei die Vorschläge "Polynominterpolation" und "Quadraturformeln" wahrscheinlich zu kompliziert zum erklären wären. Unter- und Obersummen sind ja dann eigentlich die einzigen Möglichkeiten für das Näherungsverfahren. Oder was darf ich mir unter der "Monte-Carlo-Methode" genau vorstellen? | |
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einfaches Monte-Carlo: Gegeben sei eine Funktion f über ein Intervall [a,b] und f(x) liege in [c;d]. Der Inhalt von [a;b]x[c;d] ist mit R=(b-a)(d-c) bekannt und stellt 100% dar. - Erzeuge 2 Zufallszahlen (x,y) € [a;b]x[c;d] und ermittle, ob y <= f(x) (= gehört zur Fläche). Machte man das zB. 1000-Mal und hat zB. 456 Treffer (= gehört zur Fläche) ,dann ist 456/1000 *R eine Näherung (die allerdings nicht berücksichtigt, dass f unterhalb der x-Achse negative Flächen erzeugt). y > f(x) : t unverändert y < f(x) : t <--- t+1 Will man dies auch für neg. Flächen und stellen t die momentanen Treffer dar, macht man folgendes zB. für n=1000: y > f(x) : t unverändert y < f(x) UND f(x) > 0 : t <--- t+1 y < f(x) UND f(x) < 0 : t <--- t-1 Näherung: t/n *R Grobe Vorstellung also: Wenn Flächen, Volumina etc. durch ihre Ränder problemlos beschrieben werden können, kann man ´drinnen´ bzw. ´draussen´ durch zufälliges reinpieken genauso problemlos zählen und erhält eine Näherung per drinnen / (drinnen + draussen). -Steele- |
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