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Näherungswert 25^(1/3) Taylor/Fehlerabschätzung

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Urbain aktiv_icon

17:51 Uhr, 18.05.2015

Hallo

Ich habe Probleme bei folgendem Beispiel: Berechnen Sie einen Näherungswert für

\frac{251}{3}

unter Verwendung eines Taylorpolynoms 2. Grades. Wählen Sie einen geeigneten Entwicklungspunkt und schätzen Sie den Fehler ab.

Also mein Lösungsweg sieht so aus. Ich habe einfach mal den Entwicklungspunkt

a = 1

gewählt, da ich an dieser Stelle ja den Funktionswert kenne. Anschließend hab ich mir mal die Taylorreihe bis zum 2ten Grad aufgeschrieben. Womit Punkt 1 der Aufgabe ja gelöst ist, aber wie sieht das jetzt mit dem schätzen/berechnen des Fehlers aus? ( kein Taschenrechner erlaubt) Hab da nicht mal einen Ansatz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DerDepp aktiv_icon

18:44 Uhr, 18.05.2015

Hossa :-)

Du suchst einen Näherungswert für

2 5^{1 / 3}

mit Hilfe eines geeigneten Taylor-Polynoms 2-ten Gerades:

f (x_{0} + Δ x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) \cdot Δ x + \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) \cdot (Δ x)^{2} + \dots

Da hier

f (x) = x^{1 / 3}

ist, bietet sich als Entwicklungspunkt

x_{0}

eine Kubikzahl

n^{3}

an. Sei also

x_{0} = n^{3}

und speziell hier

n = 3

, weil

3^{3} = 27

nahe an der

25

liegt.

f (x) = x^{1 / 3} \Rightarrow f (n^{3}) = n

f^{'} (x) = \frac{1}{3} x^{- 2 / 3} \Rightarrow f^{'} (n^{3}) = \frac{1}{3} (n^{3})^{- 2 / 3} = \frac{1}{3} n^{- 2} = \frac{1}{3 n^{2}}

f^{''} (x) = - \frac{2}{9} x^{- 5 / 3} \Rightarrow f^{''} (n^{3}) = - \frac{2}{9} (n^{3})^{- 5 / 3} = - \frac{2}{9} n^{- 5} = - \frac{2}{9 n^{5}}

Zusammengebaut lautet daher die gesuchte Näherung:

{(n^{3} + Δ x)}^{1 / 3} \approx n + \frac{Δ x}{3 n^{2}} - \frac{(Δ x)^{2}}{9 n^{5}}

Mit

n = 3

und

Δ x = - 2

kannst du die gesuchte Kubikwurzel nun rechnerisch bestimmen.

Um das Restglied abzuschätzen, entwickelst du einfach das Taylor-Polynom eine Ordnung weiter:

R (x_{0}, Δ x) = \frac{f^{'''} (x_{0} + τ \cdot Δ x)}{3!} {(Δ x)}^{3}; τ \in] 0; 1 [

und überlegst dir, für welches

τ

das Restglied

R (x_{0}, Δ x)

maximal wird.

f^{'''} (x) = \frac{10}{27} x^{- 8 / 3} \Rightarrow R (n^{3}, Δ x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{27} {(n^{3} + τ Δ x)}^{- 8 / 3} \cdot (Δ x)^{3}

Da du ohne Taschenrechner arbeiten sollst und die Klammer hoch (-8/3) eigentlich nur vernünftig ausrechenbar ist, falls

τ = 0

gilt, schätzen wir ab:

R (n^{3}, Δ x) \approx \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{27} \cdot n^{- 8} \cdot (Δ x)^{3} = \frac{5}{81} \frac{(Δ x)^{3}}{n^{8}}

Wohlgemerkt ist das nicht der maximale Fehler, denn dazu müsstest du das

τ

so wählen, dass das Restglied maximal wird. Die Annahme

τ = 0

ist der Berechenbarkeit ohne TR geschuldet!

Mit

n = 3

und

Δ x = - 2

erhälst du die Fehlerabschätzung im konkreten Fall.

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