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Näherungswert Taylorpolynom

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Partielle Differentialgleichungen

Tags: Funktion, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen

morbach1234 aktiv_icon

21:10 Uhr, 13.01.2018

Hallo Leute,

ich komme mit dem Näherungswert bei folgender Aufgabe nicht zurecht:

Bestimmen Sie für die Funktion f(x)=√(1+x) das Taylorpolynom 4. Grades für den Entwicklungspunkt

x 0 = 0

. Bestimmen Sie anschließend einen Näherungswert für √1,01 mit Hilfe des Taylorpolynoms 3. Grades und schätzen Sie den Fehler ab.

Taylorpolynom 4. Grades:

p (x) = 1 + (\frac{1}{2}) x - (\frac{1}{8}) x^{2} + (\frac{1}{16}) x^{3} - (\frac{5}{128}) x^{4}

Der korrekte Näherungswert ist=

3,9 \cdot 10^{- 10},

wie komme ich nun auf dieses Ergebnis?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

23:35 Uhr, 13.01.2018

Hallo
der Näherungswert ist sicher nicht

3,9 \cdot 10^{- 10}

sondern

> 1

meinst du den Fehler? den Näherungswert bekommst du indem due

x = 1.01

einsetzt. mal sprichst du von 4. Grad, mal vom 3 ten?
wenn 3. ten Grades schätzt du den Fehler durch das Restglied mit Hilfe der 4 ten Ableitung ab. hier ist das genau der 4 te Taylorteil
aber auch das ist nicht dein

3,9 \cdot 10^{- 10}

Gruß ledum

morbach1234 aktiv_icon

13:55 Uhr, 14.01.2018

Hallo ledum,

genau so wurde die Frage vom Prof gestellt.
Ich habe leider keinen Plan wie hier vorzugehen ist.

Roman-22

14:30 Uhr, 14.01.2018

Ja, die Aufgabenstellung ist schon OK so und auch das Ergebnis. Du hast nur fälschlicherweise geschrieben, dass das Ergebnis der Näherungswert ist, aber in Wirklichkeit ist dieses Ergebnis natürlich die verlangte Abschätzung des Fehlers.

Für den Näherungswert setzt du in

p_{3} (x) := 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{16}

eben den Wert

0,01

ein und erhältst

\frac{16079801}{16000000} \approx 1,00498756

Den Fehler kannst du, da es sich um eine alternierende Reihe handelt, sogar nur mit dem Wert des ersten vernachlässigten Glieds abschätzen, also mit

\frac{5}{128} x^{4}

. Wenn du in diesen Term für

x

wieder

0,01

einsetzt, erhältst du eine Schranke für den Fehler, nämlich

\frac{1}{2560000000} \approx 3,90625 \cdot 10^{- 10}

.
(Das ist schon ein recht guter Wert - mit Rechnergenauigkeit ist der tatsächliche absolute Fehler

3,8791097298 \cdot 10^{- 10} .)

Mit anderen Restgliedformeln wirst du auf geringfügig andere Werte kommen, die aber alle in der Gegend von

3,9 \cdot 10^{- 10}

liegen werden.
Kann es sein, dass du für

x

den Wert

1,01

anstelle von

0,01

eingesetzt hast und deswegen nicht auf das Ergebnis gekommen bist?

morbach1234 aktiv_icon

20:44 Uhr, 14.01.2018

Hallo Roman-22

danke für die Antwort.

Aber wieso muss der Wert

0,01

eingesetzt werden?

Roman-22

21:13 Uhr, 14.01.2018

>

Aber wieso muss der Wert

0,01

eingesetzt werden?
Weil deine Funktion mit

f (x) := \sqrt{1 + x}

definiert ist.
Was hättest du gedacht, dass du für

x

einsetzen musst, um mit

\sqrt{x + 1}

die

\sqrt{1,01}

zu berechnen?

x + 1 = 1,01

x =

mathema1222 aktiv_icon

17:59 Uhr, 07.02.2018

ich hab mal eine Kurze nachfrage, wenn ich zum Beispiel ein Nährungswert von

\sqrt{2}

berechenen will muss ich in die Taylorreihe die 1 einsetzen? Wenn ich von

\sqrt{3}

dann in die Taylorreihe 2???? (gemeint ist die

f (x) = \sqrt{1 + x})

Dann hab ich noch eine Frage was ist eigentlich mit dem Nährungswert gemeint ist das eine Art Null auf eine genaue Stelle und ist das genau das gleiche wie den Fehler berechnen?

Danke im Vorfeld

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