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Näherungswerte und Ungleichungen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Epsilonumgebung, Funktionalanalysis, Näherungswert, Ungleichung

chrisaachen aktiv_icon

20:16 Uhr, 11.09.2016

Hallo zusammen,

ich habe folgende Schritte in einem Buch gefunden, bei denen gezeigt wird wie genau

\overline{a} = 1, 414215

als Näherungswert für

\sqrt{2}

ist.

Schritt 1:
Es gilt

{\overline{a}}^{2} \geq 2

.

Schritt 2:
Aus Schritt 1 folgt:

\frac{2}{\overline{a}} \leq \sqrt{2} \leq \overline{a}

.

Schritt 3:
Aus Schritt 2 folgt:

∣ \overline{a} - \sqrt{2} ∣ \leq ∣ \overline{a} - \frac{2}{\overline{a}} ∣ \leq 0, 000003

.

Schritt 4:
Aus Schritt 3 folgt:

\sqrt{2} = 1, 414215 \pm 3 \cdot 1 0^{- 6}

.

Wenn ich ehrlich sein soll, kann ich diesem Ablauf nicht ganz folgen. Es hakt an einigen Stellen und ich wäre euch für schrittweise Hilfe dankbar. Im Anhang habe ich den Buchausschnitt angefügt, damit klar ist, aus welchen Regeln das obige herzuleiten ist.

Meine bisherigen Überlegungen:

Zu Schritt 1:
Findet man diese Beziehung aufgrund von irgendwelchen Regeln raus? Oder gibt man - einfach formuliert - die

1, 41421 5^{2}

in den Taschenrechner ein und sieht dass es

> 2

ist?

Zu Schritt 2:
Ich habe selber versucht von Schritt 1 auf Schritt 2 zu kommen. Bin aber nicht ganz angekommen.
Wenn ich von

{\overline{a}}^{2} \geq 2

ausgehe und auf beiden Seiten durch

\overline{a}

teile , dann komme ich schonmal auf

\frac{2}{\overline{a}} \leq \overline{a}

.

Des Weiteren kann ich auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen (das darf ich ja ohne Weiteres weil ich weiß, dass

\overline{a} > 0

). Damit komme ich auf

\sqrt{2} \leq \overline{a}

.

Wie komme ich aber von

\frac{2}{\overline{a}} \leq \overline{a}

und

\sqrt{2} \leq \overline{a}

auf

\frac{2}{\overline{a}} \leq \sqrt{2} \leq \overline{a}

? Oder anders gefragt: Woher weiß ich, dass

\frac{2}{\overline{a}} \leq \sqrt{2}

?

Zu Schritt 3:
Hier bin ich ganz verloren

Zu Schritt 4:
Weil in Schritt 3 steht

∣ \overline{a} - \sqrt{2} ∣ \leq 3 \cdot 1 0^{- 6}

weiß ich, dass man das schreiben kann als

\sqrt{2} = 1, 414215 \pm 3 \cdot 1 0^{- 6}

. Allerdings ist mir nicht ganz bewusst, warum man den Aufwand betreibt und in Schritt 3 den "

∣ \overline{a} - \frac{2}{\overline{a}} ∣

"-Teil hat. Den braucht man ja gar nicht, um auf

\sqrt{2} = 1, 414215 \pm 3 \cdot 1 0^{- 6}

zu kommen oder?

Vorab danke ich euch für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

22:23 Uhr, 11.09.2016

Ich vermute, dass man in diesem Buch

\bar{a}

durch eine Iteration gefunden hat und möglicherweise von daher in Schritt 1 weiß, dass man sich "von oben" nähert und daher

\bar{a} \geq \sqrt{2}

bzw.

{\bar{a}}^{2} \geq 2

ist. Falls nicht, lässt sich das ja leicht durch eine Multiplikation von

\bar{a}

mit sich selbst verifizieren. Dafür benötigt man nicht zwingenderweise einen TR und vor allem (denn darum geht es) keine Wurzelfunktion.

Schritt 2 kannst du vl so besser nachvollziehen, wenn du bedenkts, dass aus

(1)

eben auch

\sqrt{2} \leq \bar{a}

folgt. Beginnen wir mit

2,

zerlegen die Zahl und ersetzen schrittweise

\sqrt{2}

durch das größere

\bar{a} :

2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \cdot \bar{a} \leq \bar{a} \cdot \bar{a} = {\bar{a}}^{2}

Jetzt beidseits durch

\bar{a}

dividiert

\frac{2}{\bar{a}} \leq \sqrt{2} \leq \bar{a}

und wir sind dort.

Zu Schritt 3: Der Betrag ist hier wegen der Kenntnis

\bar{a} > 0

überflüssig. Wir benötigen von Schritt zwei nur die erste Ungleichung

\frac{2}{\bar{a}} \leq \sqrt{2}

und multiplizieren sie beidseits mit

(- 1)

. Dabei dreht sich natürlich das Ungleichheitszeichen um:

- \frac{2}{\bar{a}} \geq - \sqrt{2}

Jetzt noch die Seiten vertauschen und beidseits

\bar{a}

addieren:

\bar{a} - \sqrt{2} \leq \bar{a} - \frac{2}{\bar{a}}

Dass der letzte Ausdruck

\leq 3 \cdot 10^{- 6}

ist, weiß man entweder wieder vom vorangegangenen Iterationsprozess, oder man kann es wieder ganz ohne Wurzeltaste, notfalls auch zu Fuß, ausrechnen.

Und wegen

\bar{a} \geq \sqrt{2}

und Schritt

3 \to \bar{a} - \sqrt{2} \leq 2 \cdot 10^{- 6}

folgt durch Umstellung

\bar{a} - 3 \cdot 10^{- 6} \leq \sqrt{2} \leq \bar{a}

Dies ist genauer als das im Buch angegebene

\sqrt{2} = \bar{a} \pm 3 \cdot 10^{- 6},

da wir ja wissen, dass

\sqrt{2}

sicher nicht größer als

\bar{a}

ist.

R

chrisaachen aktiv_icon

23:17 Uhr, 11.09.2016

Super, vielen Dank!

Während ich mir deine Erklärung durchgelesen habe, ist mir einiges klar geworden.

Ich erkläre nochmal kurz wie ich das Ganze jetzt verstanden habe:
Der Sinn von dem Ganzen ist zu bestimmen wie genau ein Näherungswert ist.
Dazu gibt es die Formel:

∣ N ä h e r u n g s w e r t - T a t s ä c h l i c h e r W e r t ∣ = ∣ T a t s ä c h l i c h e r W e r t - N ä h e r u n g s w e r t ∣ \leq ε

Diese Formel führt dann schließlich zu der Schreibweise:

T a t s ä c h l i c h e r W e r t = N ä h e r u n g s w e r t \pm ε

Das heiß in unserem Fall haben wir den Näherungswert mit

\overline{a} = 1, 414215

sowie den tatsächlichen Wert mit

a = \sqrt{2}

gegeben. Es fehlt also das

ε

.
Wir setzen also ein in die Formel:

∣ \overline{a} - \sqrt{2} ∣ \leq ε

. Da man aber ja gerade

\sqrt{2}

nicht einfach so ausrechnen kann, versucht man einen Ersatz dafür zu finden, den man mit

\frac{2}{\overline{a}} \leq \sqrt{2}

findet.

Kannst du/ihr das so bestätigen?

Roman-22

09:48 Uhr, 12.09.2016

Naja, die Qualität einer Näherung

\bar{a}

für eine Größe, zB

\sqrt{2}

kann natürlich daran gemessen werden, wie weit sie vom genauen Wert entfernt ist. Das ist eben der Fehler

| \bar{a} - \sqrt{2} |

. Da

\sqrt{2}

nicht bekannt ist, muss man versuchen diesen Fehler nach oben abzuschätzen und kommt hier in Schritt 3 eben zu der Abschätzung

| \bar{a} - \sqrt{2} | \leq | \bar{a} - \frac{2}{\bar{a}} | = ε

. In dieser allgemeinen Form ist nicht ablesbar, ob die Näherung

\bar{a}

zu groß oder zu klein ist und oft kann man das bei Näherungen auch nicht leicht feststellen. Daher dann eben die Angabe

| \bar{a} - \sqrt{2} | \leq ε

oder

\bar{a} - ε \leq \sqrt{2} \leq \bar{a} + ε

oder kurz

\sqrt{2} = \bar{a} \pm ε

.
Ziel von Fehlerabschätzungen ist es, einen möglichst kleinen Wert für

ε

angeben zu können.

R

chrisaachen aktiv_icon

18:46 Uhr, 12.09.2016

Alles klar. Danke für die Hilfe, Roman!

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