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Nebenwerte der Arkus Funktion berechnen

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Sonstiges

Tags: arc, Sonstig

manuelqed aktiv_icon

17:34 Uhr, 18.08.2016

Hi, zu meiner Frage
Um Nebenwerte der Arkus Funktion zu berechnen müssen die Hauptwerke ja um ein Vielfaches von

π

verschoben werden.
Dabei verstehe ich nicht warum garade um

(2 n + 1) \cdot π -

arcsin(x) bzw.

2 n π +

arcsin(x)
und

2 n π -

arccos(x) bzw.

2 n π

+arccos(x) mit

n

element der ganzen Zahlen.
Also bräuchte ich eine Erklärung wie man auf diese Formeln kommt und wieso je zwei angegeben werden.

Zum zweiten Teil meiner Frage
Zum oben genannten gibt es noch zwei beispiele :
1. Man sucht den Winkel

φ

im Intervall

[- \frac{3}{2} π, - \frac{1}{2} π]

Mit der Eigenschaft

sin φ = \frac{1}{2}

.
Meine Überlegung war das man das Intervall um

- π

verschieben muss, was sich als falsch rausstellte und daraus folgte ich

φ = (2 \cdot (- 1) + 1) \cdot φ +

arcsin(1/2) also

φ =

arcsin(1/2)

- π

Die Richtige Antwort sei aber

φ =

-arcsin(1/2)

- π,

dabei verstehe ich nicht wie man auf -arcsin(1/2) kommt.

2. Analog wird der Winkel

α

im Intervall

[3 π, 4 π]

mit der Eigenschaft COS

α = \frac{1}{2}

gesucht.
Mein Ansatz war eine Verschiebung um

+ 3 π,

was mit den oben genannten Formeln nicht realisierbar ist.
Die Lösung hingegen schein

4 π -

arccos(1/2) zu sein wobei ich nicht nach voll ziehen kann wieso

4 π

und wieso wieder - arccos(1/2).

Ich hoffe jemand kann mir das Erklären und sagen wo mein Denkfehler ist.
Vielen Dank im Vorraus.!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

17:52 Uhr, 18.08.2016

DIE Arkus-Funktion gibts nicht. Du musst schon sagen, dass du zB arcsin meinst.

>

Also bräuchte ich eine Erklärung wie man auf diese Formeln kommt und wieso je zwei angegeben werden.
OK.
Nehmen wir also erstmal arcsin(x). Als Funktion liefert diese Winkel

φ

im Bereich

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

und sonst nix.
Jetzt mach dir zB anhand einer Skizze im Einheitskreis klar, dass, wenn

sin (φ) = x

ist, auch

sin (π - φ) = x

gilt. Das ist einfach eine Spiegelung des Winkels an der Senkrechten, die am Sinuswert nichts ändert.
Damit hätten wir also schon zwei Lösungen für die Gleichung

sin (α) = x

(und um die scheint es dir ja zu gehen).
Da die Sinusfunktion

2 π -

periodisch ist, können wir zu jeder dieser beiden Lösungen beliebige ganzzahlige Vielfache von

2 π

addieren und erhalten so unendlich viele Lösungen der Gleichung, die wir in zwei Gruppen einteilen können:

α_{1} = φ + n \cdot 2 π = 2 n π + a r c s i n (x)

und

α_{2} = π - φ + n \cdot 2 π = (2 n + 1) π - a r c s i n (x)

jeweils mit

n \in ℤ

.
Wir hatten ja

φ = a r c s i n (x)

.

Genau so gehts auch bei arccos.
Wenn wir also

cos (α) = x

lösen möchten, ist eine Lösung sicherlich

φ = a r c c o s (x)

mit

φ \in [0; π]

.
Wieder kann man sich aus Symmetriegünden überlegen, dass der an der Waagrechten gespiegelte Winkel

- φ

(du kannst auch

2 π - φ

nehmen) ebenfalls den Kosinuswert

x

hat. Wiederum können wir beliebige ganzzahlige Vielfache von

2 π

addieren und können das diesmal auch kompakt mit

α = \pm a r c c o s (x) + n \cdot 2 π

schreiben. Wenn du nun das wegen des

\pm

in zwei "Linien" aufteilst und extra anschreibst, bist du bei den Ausdrücken, die du in deiner Frage angibst.

R

Roman-22

18:08 Uhr, 18.08.2016

Zum Beispiel 1

Man sollte wissen, dass

a r c s i n (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

ist.

Also gilt nach dem oben gesagten, dass es zwei "Linien" von je unendlichen vielen Lösungen der Gleichung

sin (φ) = \frac{1}{2}

gibt:

φ_{1} = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π

und

φ_{2} = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π = 5 \frac{π}{6} + n \cdot 2 π

jeweils mit

n \in ℤ

Schreiben wir und je ein paar Werte auf (jeweils exemplarisch 5 Stück für

- 2 \leq n \leq 2)

φ_{1} : ... ., - \frac{23 π}{6}, - \frac{11 π}{6}, \frac{π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{25 π}{6}, ...

φ_{2} : ... ., - \frac{19 π}{6}, - \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \frac{29 π}{6}, ...

.

Na, und jetzt such dir von all diesen Werte jene(n) heraus, die/der im gewünschten Bereich

[- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}] = [- \frac{9 π}{6}; - \frac{3 π}{6}]

liegt. Du wirst außer

- \frac{7 π}{6}

keinen finden!

R

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