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Nenner mit konjugiert komplexer Zahl erweitern

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Regelungstechnik, übertragungsfunktion

asdasdmm aktiv_icon

20:40 Uhr, 14.12.2013

Hallo! Ich habe folgende Übertragungsfunktion:

$G (s) = \frac{1 - 2 j ω}{(3 + j ω)^{2}}$

Davon möchte ich gern Real- und Imaginärteil trennen, womit ich nach Auflösen des Nenners bei:

$G (s) = \frac{1 - 2 j ω}{9 + 6 j ω - ω^{2}}$

bin. Ich möchte ja nun den Imaginärteil aus dem Nenner entfernen, wodurch ich mit dem konjugiert komplexem multipliziere. Doch muss ich hier miit $9 - 6 j ω - ω^{2}$ oder nur mit $- 6 j ω$ multiplizieren? Irgendwie komm ich hier nicht weiter.

Vielen Dank schon mal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

21:09 Uhr, 14.12.2013

Nenner $\to (9$ − ω² $) + 6$ ω $\cdot j$

$\to$ Bruch erweitern mit

$\to (9$ − ω² ) − 6 ω $\cdot j$

$z = x + j \cdot y$
$... ... ... ... .$ . konjugiert komplex $\to$
$z = x - j \cdot y$

Produkt $\to (x + j \cdot y) \cdot (x - j \cdot y) = x^{2} + y^{2} ... \to$ ist eine rein reelle Zahl

ok?

asdasdmm aktiv_icon

10:25 Uhr, 15.12.2013

Super vielen Dank :-).

Ich rechne dann also:

$\frac{1 - 2 ω \cdot j}{(9 - ω^{2}) + 6 ω \cdot j} \cdot \frac{(9 - ω^{2}) - 6 ω \cdot j}{(9 - ω^{2}) - 6 ω \cdot j} = \frac{(9 - ω^{2}) - 6 ω \cdot j - (18 ω - 2 ω^{2}) \cdot j + 18 ω^{2} \cdot j^{2}}{(9 - ω^{2})^{2} + 36 ω^{2}} = \frac{(9 - 19 ω^{2}) + (- 24 + 2 ω^{2}) \cdot j}{(9 - ω^{2})^{2} + 36 ω^{2}}$

Hab ich hier richtig gerechnet? In der Lösung kommen statt $- 19 ω^{2} \to - 16 ω^{2}$ und im Nenner sollte kein $+ 36 ω^{2}$ sein...

rundblick aktiv_icon

12:15 Uhr, 15.12.2013

also:

$\to$ den Nenner hast du richtig gerechnet; du kannst aber noch etwas vereinfachen:

${(9 - w^{2})}^{2} + 36 w^{2} = 81 - 18 w^{2} + w^{4} + 36 w^{2} = 81 + 18 w^{2} + w^{4} = {(9 + w^{2})}^{2}$

$\to$ den Zähler aber solltest du nochmal sorgfältig neu rechnen..
(nebenbei:
schau vorher sicherheitshalber noch nach, ob du $(1 - 2 w j)$ richtig notiert hattest?)

$[1 - 2 w j] \cdot [(9 - w^{2}) - 6 w j] =$ ...?...

ok?

asdasdmm aktiv_icon

19:10 Uhr, 15.12.2013

Ach, jetzt hab ichs! Vielen Dank :-). Keine Ahnung was ich hier zuvor gerechnet habe ;-)

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