Nenner rationalisieren?

Hallo zusammen,

ich komme bei einer aufgabe nicht weiter.

Mache den Nenner rational: ${\displaystyle \frac{1-\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}}$

Folgendes habe ich getan:

Schritt 1:

${\displaystyle \frac{(1-\sqrt[4]{2})\sqrt[4]{3}}{{\left(\sqrt[4]{3}\right)}^2}}$

Schritt 2:

${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}}}$

Schritt 3:

${\displaystyle \frac{\left(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{3}\right)\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}$

Schritt 4:

${\displaystyle \frac{\sqrt[4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2]{3^{1+2}}-\sqrt[4]{2}\sqrt{3}\sqrt[4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2]{3^{1+2}}}{3}}$

Jetzt habe ich zwar im Nenner keine Wurzel mehr, weiß aber irgendwie nicht weiter. Die ${\displaystyle \sqrt{3}}$ habe ich da der Radikant gleich war wie folgt einmultipliziert: ${\displaystyle \sqrt[\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$. Nur wie multipliziere ich die ${\displaystyle \sqrt[4]{2}\sqrt{3}}$??

Kann mir jemand mal einen Tip geben oder wo habe ich schon den ersten fehler gemacht?

Ja alles klar. Der entscheidende Punkt war die ${\displaystyle 3^{\frac{3}{4}}}$ . Jetzt habe ich das auch auf beiden wegen hinbekommen. Vielleicht schaut Ihr mal auf meinen Lösungweg. Nicht das ich doch noch etwas falsch habe und das Ergebnis stimmt zufällig.

Danke schön