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Neues Thema: Problem I

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: ???habe keine ahnung, Integralfunktion

milachina93 aktiv_icon

22:18 Uhr, 19.01.2012

Unsere Mathe Lehrerin hat uns heute ein Aufgabenblatt gegeben Name des Blattes ist Problem I und hat zu uns dann gesagt neues Thema mach mal, ich hab schon etwas recherchiert und denke das es sich um Integrale handelt bitte helft mir

: (

In eine leere Badewanne wird eine Minute lang Wasser eingelassen, dabei betraegt die Zuflussgeschwindigkeit

10 \frac{l}{min}

. Dann wird die Wasserzufuhr abrupt gestoppt und gleichzeitig der Abfluss fuer

90

Sekunden geoffnet, dabei fliessen pro Minute 3 Liter Wasser ab.

a)

Stelle eine Funktion

f

auf,die die Zuflussgeschwindigkeit modelliert und skizziere ihren Graphen. Wie koennte der Zu-und Abfluss des Wassers dabei unterschieden werden?

b)

Wie viel Wasser befindet sich nach

80

Sekunden in der Wanne?
Beschreibe die Wassermenge in der Wanne in Abhaengigkeit vom Zeitpunkt

t

durch eine Funktion

g

und skizziere ihren graphischen Verlauf!

c)

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen

f

ud g?

also

c)

wuerde ich versuchen zu loesen nur

a)

und

b)

bekomme ich nicht hin ich habe jetzt fast 2 Stunden versucht mir einen Reim aus den Skizzen und mich auch an einer Stammfunktion versucht mein groesstes Problem bei

a)

ist das ja vorausgesetzt wird das die Zuflussgeschwindigkeit konstant bleibt aber die Intervalle solche seltsamen spruenge machen...

0 - 1 = 10

1 - 2,5 = - 3

2,5 - 3,5 = 10

3,5 - 5 = - 3

.
.
.

Danke schonmal im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Integralfunktion

Aurel

01:12 Uhr, 20.01.2012

Hallo

g(t)..........Wassermenge in Liter zur Zeit

t

f(t)..........Zuflussgeschwindigkeit in Liter/min zur Zeit

t

a)

f (t) = 10

für

0 \leq t \leq 1

und

f (t) = - 3

für

1 < t \leq \frac{90}{60}

b)

80

Sekunden

= \frac{80}{60}

Minuten

= \frac{4}{3}

Minuten

\frac{d g (t)}{d t} = f (t)

d g (t) = f (t) \cdot d t

\int_{0}^{\frac{4}{3}} d g (t) = \int_{0}^{\frac{4}{3}} f (t) \cdot d t

g (t) |_{0}^{\frac{4}{3}} = \int_{0}^{1} 10 \cdot d t + \int_{1}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot d t

g (\frac{4}{3}) - g (0) = \int_{0}^{1} 10 \cdot d t + \int_{1}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot d t

mit

g (0) = 0 \Rightarrow

g (\frac{4}{3}) = 10 t {|_0^{1} - 3 t |}_{1}^{\frac{4}{3}} = 10 - 4 = 6

Liter

g (t) = 10 t

für

0 \leq t \leq 1

und

g (t) = 10 - 3 t

für

1 < t \leq \frac{90}{60}

Eva88 aktiv_icon

03:48 Uhr, 20.01.2012

Hat doch grade erst mit Integralrechnung angefangen, ich glaube da versteht keiner wat.

( Ruhrgebietsslang )

prodomo aktiv_icon

07:07 Uhr, 20.01.2012

Das ist ein typischer - nicht unbedingt guter - Einstieg in die Integralrechnung, die man aber bei diesem Beispiel noch nicht wirklich braucht (deshalb ist es diskussionswürdig). Deine Zeichnung hat als waagerechte Achse die Zeitachse, sinnvoll wäre 1 cm für

10

Sekunden, dann ist der ganze Vorgang

15

cm breit. Auf der senkrechten Achse passt

z . B

. 1 cm für

1 \frac{l}{min},

dann brauchst du

10

cm nach oben und 3 cm nach unten Platz, dein Bild wird also mit Beschriftung ungefähr

15 x 15

cm^2 groß.
In der ersten Minute ist die Zuflussgeschwindigkeit konstant

10 \frac{l}{min},

der senkrechte Wert ist also immer gleich, das ergibt eine Parallele zur waagerechten Achse in

10

cm Abstand nach oben, also von

(0 | 10)

(6 | 10)

. Danach haben wir einen Abfluss

(=

negativer Zufluss) von

3 \frac{l}{min}

. Das ergibt entsprechend eine Parallele zur waagerechten Achse durch

(6 | - 3)

bis

(15 | - 3)

. Die Punkte

(6 | 10)

und

(6 | - 3)

können durch einen senkrechten Strich verbunden werden, der das Umschalten innerhalb 0 Sekunden (geht in Wirklichkeit nicht, physikalische Vorgänge laufen nie in 0 Sekunden ab) darstellt. Ist hier idealisiert dargestellt.
Jetzt das eigentliche Problem: wo in der Zeichnung ist die Wassermenge

W

versteckt ? Am Anfang ist die Wanne leer, also ist

W (0) = 0

. Wenn 1 Minute lang

10 \frac{l}{min}

dazukommen, sind also danach genau diese

10 l

in der Wanne, also

W (1 min) = 10 l

. Das entspricht genau dem Rechteck in deiner Zeichnung zwischen

(0 | 0), (6 | 0), (6 | 10)

und

(0 | 10)

. Die Verwandschaft zur Integralrechnung liegt darin, dass dieses Rechteck als Fläche unter der Zuflussfunktion aufgefasst werden kann (später ist dann diese Zuflussfunktion keine Gerade mehr, sondern eine Kurve, unter der man die Fläche berechnen muss). Entsprechend kann die anschließend abfliessende Wassermenge als Rechteck unterhalb der waagerechten Achse zwischen dieser und der zweiten Parallele gedeutet werden, wobei für die Rechnung die Fläche negativ gedeutet werden muss (Abfluss).
Wassermenge nach

80 s

? Nach

60

waren es

10

Liter. Jetzt fließen

3 \frac{l}{min}

ab, also in den

20

Sekunden von

60

bis

80

genau 1 Liter. Dann sind es noch 9 Liter. Das entspricht der Rechteckfläche von oben minus der kleinen Rechteckfläche zwischen

(6 | 0), (6 | - 3), (8 | - 3)

und

(8 | 0)

.
Funktion

g

bzw.

W :

Von

0 min

bis

1 min W (t) = 10 \frac{l}{min} \cdot t,

1 min W (t) = 10 l - 3 \frac{l}{min} \cdot t

. Diese Funktion ist abschnittsweise definiert.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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