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Neutrales Element bleibt erhalten, Homomorphismus

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Homomorphismus, neutrales Element

-Lizzy- aktiv_icon

12:31 Uhr, 19.10.2021

Hallo,

es geht darum, folgendes zu beweisen: $φ (e_{G}) = e_{H}$ mit $(G, \cdot)$ und $(H,$ °) Gruppen und Abbildung $φ : G \to H$ .

Beweis:
$φ (e_{G}) = φ (e_{G} \cdot e_{G}) = φ (e_{G})$ ° $φ (e_{G})$
$\Rightarrow φ {(e_{G})}^{- 1}$ ° $φ (e_{G}) = φ {(e_{G})}^{- 1}$ ° $φ (e_{G})$ ° $φ (e_{G})$
$\Rightarrow e_{H} = e_{H}$ ° $φ (e_{G})$
$\Rightarrow e_{H} = φ (e_{G})$

Ich verstehe nicht, warum $φ {(e_{G})}^{- 1}$ ° $φ (e_{G}) = e_{H}$ (Zeile 2 auf $3)$ gilt. Vielleicht kann mich jemand aufklären?

Laut VL wissen wir:
1. Def. Gruppenhomomorphismus
2. Def. Gruppe
3. Wenn $g, h \in G$ invertierbar, dann sind auch $g \cdot h$ und $g^{- 1}$ inverterbar und es gilt ${(g \cdot h)}^{- 1} = h^{- 1} \cdot g^{- 1}$ und ${(g^{- 1})}^{- 1} = g$
4. Das Neutralelement ist invertierbar und es ist $e_{G}^{- 1} = e_{G}$

Liebe Grüße !

DrBoogie aktiv_icon

13:46 Uhr, 19.10.2021

Das ist doch die Definition der Inversen. In der Gruppe $H$ gilt für jedes $h$ :
$h^{- 1} \cdot h = e_{H}$ . Insbesondere für $h = φ (e_{G})$ .

-Lizzy- aktiv_icon

13:52 Uhr, 11.12.2021

Oh je, danke!

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