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Neutrales und inverses Element berechnen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: inverses element, Körper, neutrales Element

renduy aktiv_icon

14:53 Uhr, 30.12.2014

Hallo liebes Forum,

Aufgabe: Zeigen Sie, dass

(ℝ, +, \cdot)

mit den Verknüpfungen:

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) + (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + c \\ c + d \end{matrix})

und

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot c - b \cdot d \\ a \cdot d + b \cdot c \end{matrix})

ein Körper ist.

Für die Axiome der Addition ist das alles kein Problem.
Für die Axiome der Multiplikation komme ich ab dem neutralen Element ins Schwimmen...

Wie komme ich von

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot c - b \cdot d \\ a \cdot d + b \cdot c \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})

auf

(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

?

die Frage stellt sich für das inverse Element analog.

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot c - b \cdot d \\ a \cdot d + b \cdot c \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

auf

(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{a}{a^{2} + b^{2}} \\ - \frac{b}{a^{2} + b^{2}} \end{matrix})

Auch beim Distributivgesetz bekomme ich nicht

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) + (\begin{matrix} e \\ f \end{matrix})) = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) + (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} e \\ f \end{matrix})

Ich dachte, dass es bei 1 und 2 eigentlich nur ein Gleichungssystem ist, was ich lösen muss und bei 3 einfach Ausmultiplizieren, aber ich komme nicht auf die Ergebnisse.

Das müsste für Euch doch ein Klacks sein! :-)

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

16:29 Uhr, 30.12.2014

Hallo,

vermutlich muss es in der Aufgabenstellung

(ℝ^{2}, +, \cdot)

heißen.

> Wie komme ich [...] auf (c,d)=(1,0)?

Das ist nicht unbedingt die Frage. Je nach eurer Definition brauchst du doch nur zu zeigen, dass

(1, 0)

tatsächlich für alle Elemente neutral ist (bzgl. Multiplikation).

Genauso die Frage nach dem Inversen.Hauptsache du hast eines, das invers ist. Die Eindeutigkeit des Inversen folgt schon allein aus der Struktur und dem Assoziativgesetz. (Siehe Sätze der linearen Algebra zum Thema Gruppentheorie.)

Und die Nachweise, dass das Neutrale neutral und das Inverse invers ist, sind ja nur "Nachrechnen".

Mfg Michael

renduy aktiv_icon

16:45 Uhr, 30.12.2014

Hallo Michael,

danke, für deine Antwort.
Du hast Recht, es handelt sich um

ℝ^{2}

.

Meine Frage ist vielleicht undeutlich formuliert.

Wie komme ich auf das neutrale und inverse Element?

Die Ergebnisse habe ich von meinem Tutor, allerdings muss es so leicht sein, dass er keinen Rechenschritt dazu gegeben hat.

Die Körperaxiome etc. sind verstanden, es geht (wie du schon sagst) nur um das triviale Rechnen... *schäm*

LG

michaL aktiv_icon

17:12 Uhr, 30.12.2014

Hallo,

hm, ich habe es schon verstanden. Du wärst (vermutlich) von allein nicht auf das multiplikativ neutrale Element gekommen, stimmst?

Hm, es gibt dazu mehreres zu sagen:
1. Der Körper erweist sich als zum Körper der komplexen Zahlen isomorph.

(a, b) \mapsto a + i b

erweist sich als Isomorphismus.
Dort kennt man das neutrale Element der Multiplikation ganz gut und kann zurückschließen.

2. Das neutrale Element muss ja auch

(1, 0) \cdot (x, y) \overset{Def}{=} (x, y) \overset{!}{=} (1, 0)

erfüllen, ebenso

(0, 1) \cdot (x, y) \overset{Def}{=} (- y, x) \overset{!}{=} (0, 1)

.

D.h. man kann durch Probieren der Sache auf die Schliche kommen.

3. Im Prinzip hast du recht, das GLeichungssystem

\begin{array}{rcl} a c - b d & = & a \\ a d + b c & = & b \end{array}

ist zu lösen.

Dieses System schreibt man aber besser so:

\begin{array}{rcl} a (c - 1) & = & b d \\ b (c - 1) & = & - a d \end{array}

An diesem erkennt man:
Da

a

und

b

beliebig wählbar sind (geht in Richtung 2.), muss

c - 1 = 0

gelten.
Hier musst du Hirnschmalz hinein stecken:
Der Term der ersten Gleichung rechts (

b d

) ist nicht von

a

abhängig, aber von

b

und umgekehrt (der linke Term der ersten Gleichung

a (c - 1)

ist von

a

, aber nicht von

b

abhängig). Diese beiden Terme bekommt man eben nur dann gleich, wenn sie Null sind, d.h. es muss

a (c - 1) = 0 = b d

gelten. (Warum? Variiere mal nur einen von beiden,d.h. nur

a

variieren oder nur

b

variieren!)
Da diese gewonne Gleichung(skette) für jedes

a

und auch für jedes

b

gelten muss, also auch für

a = 1

, folgen insbesondere

c - 1 = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} c = 1

d = 0

.
Gottseidank ist

(1, 0)

tatsächlich multiplikativ neutral.

Alles klar?

Mfg Michael

renduy aktiv_icon

17:50 Uhr, 30.12.2014

Danke Michael, aber so ganz hat es noch nicht "Klick" gemacht.

Das ist ein Übungsblatt aus der 4. Vorlesungswoche und da wusste ich noch nicht einmal, dass es komplexe Zahlen gibt. :-D)
Bis dahin hatten wir ganz unschuldig mit Matrizen gerechnet und uns ganz vorsichtig an Gruppen- und Körperaxiome herangetastet.

Trotzdem Danke für den Bezug zu den komplexen Zahlen. Vielleicht wird auch Dieser im weiteren Verlauf zum Aha-Moment! Hatte mich ohnehin gefragt, warum gerade diese Verknüpfungen gewählt wurden.

Aber gerade wegen Vorherigem wundert mich der Schwierigkeitsgrad... Ich lade dir meine komplette Lösung mal hoch, vielleicht siehst Du dann noch einen Weg, wie man es "einfacher" löst/sieht?

LG

PS Kleiner Lichtblick, das Distributivgesetz ist zumindest mal gelöst. Da hatte ich aber auch Tomaten auf den Augen....

michaL aktiv_icon

18:06 Uhr, 30.12.2014

Hallo,

ich weiß nicht so recht, was du jetzt erwartest.
Ich habe in 3. doch recht überzeugend dargelegt, warum man zu dem Schluss kommen kann, dass

(1, 0)

das multiplikativ neutrale Element ist.
Was daran ist unklar?
Dass es nun das neutrale Element der Multipliktion ist, rechnet man doch leicht nach.

Mfg Michael

renduy aktiv_icon

18:18 Uhr, 30.12.2014

Erst einmal: Danke. für deine Geduld.

Ich kann deinen Gedankengang für das neutrale Element nachvollziehen, aber nicht auf das inverse Element übertragen gerade.

Kannst du mir für das inverse Element noch einen Tipp geben?

michaL aktiv_icon

19:01 Uhr, 30.12.2014

Hallo,

ok, die Inversen:

Es gilt per Definition doch:

(a, b) (a, - b) = (a^{2} + b^{2}, 0)

(Nachrechnen!)

Außerdem gilt:

(a, b) \cdot (k x, k y) = (k a, k b) \cdot (x, y)

(Nachrechnen!)

Damit kommt man auf die Idee, dass

(a, b) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}}, - \frac{b}{a^{2} + b^{2}}) = (1, 0)

(was man aber auch einfach nachrechnen könnte) gilt.

Würde man aber nun aus gegebenem

(a, b)

das Inverse berechnen, muss man also

\begin{array}{rcl} a c - b d & = & 1 \\ a d + b c & = & 0 \end{array}

lösen.

Aus (II) ergibt sich

b c = - a d \Rightarrow a b c = - a^{2} d

.
(I) kann zu

a b c = b + b^{2} d

ungeformt werden.

Zusammen ergibt sich

0 = b + b^{2} d + a^{2} d = b + (a^{2} + b^{2}) d

, woraus sich

d = - \frac{b}{a^{2} + b^{2}}

ergibt.

Analog rechnet man

c = \frac{a}{a^{2} + b^{2}}

. Zeige mal, wie das geht!

Mfg Michael

renduy aktiv_icon

19:59 Uhr, 30.12.2014

Danke, jetzt habe ich es!

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