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Newton-Verfahern mit 2 Variablen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Matrizenrechnung

Tags: Differentiation, Jacobi-Matrix, Matrizenrechnung

MarenKnappig aktiv_icon

14:37 Uhr, 11.03.2019

Hallo Zusammen,

ich habe eine Frage zur Anwendung des Newton-Verfahrens zu

n > 1

.

Ich habe ein paar Grundlegende Fragen und ein Beispiel, bei dem ich nicht weiter komme.

Es ist ein nichtlineares Gleichungssystem gegeben bspw.:

f_{1} (x, y) = e^{- x} - e^{- y} - 0,9

f_{2} (x, y) = x \cdot e^{- x} - y \cdot e^{- y}

Wenn man von einem Gleichungsystem spricht, dann bedeutet das doch, dass diese beiden Funktionen zusammenhängen, richtig? Sprich wenn ich nun einfach bei

f_{2} (x = 0, y = 0) = 0

einsetze, dann hätte ich die erste bzw. falls es nur eine gibt die Lösung ermittelt, oder?

Wenn ich allerdings in

f_{1} (0,0) = e^{- 0} - e^{- 0} - 0,9

einsetze, wieso kommt dann hier nicht null raus, sondern

- 0,9

?

Die Lösung des Gleichungssystems ist hier doch im Endeffekt die

y

und x-werte an denen BEIDE funktionen den Wert

= 0

annehmen richtig?

Das zum Verständis.

Nun meine Vorgehensweise:

f (x, y) = (\begin{matrix} e^{- x} - e^{- y} - 0.9 \\ x \cdot e^{- x} - y \cdot e^{- y} \end{matrix}) = 0

∂/∂x

f_{1} (x, y) = - e^{- x}

∂/∂y

f_{1} (x, y) = e^{- y}

∂/∂xf_2(x,y)= ∂/∂x

(x \cdot e^{- x}) = 1 \cdot e^{- x} + (- e^{- x}) \cdot x = e^{- x} (1 - x) = - e^{- x} (x - 1)

∂/∂yf_2(x,y)= -∂/∂y

(x \cdot e^{- x}) = - 1 \cdot e^{- y} + (- e^{- y}) \cdot y = - e^{- y} (1 - y) = e^{- y} (y - 1)

Jacobi-Matrix bilden und invertieren:

J_{f (x, y)}^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{e^{x} - e^{x} \cdot y}{x + y - 2} & (\frac{e^{x}}{x + y - 2}) \\ \frac{- e^{- y} + e^{y} \cdot x}{x + y - 2} & \frac{e^{y}}{x + y - 2} \end{matrix})

Das ganze in die Verfahrensvorschrift von Newton umgestrickt:

x_{i} + 1 = x_{i} - J_{f (x, y)}^{- 1} \cdot f (x, y) = x_{i} - (\begin{matrix} \frac{e^{x} - e^{x} \cdot y}{x + y - 2} & (\frac{e^{x}}{x + y - 2}) \\ \frac{- e^{- y} + e^{y} \cdot x}{x + y - 2} & \frac{e^{y}}{x + y - 2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} e^{- x} - e^{- y} - 0.9 \\ x \cdot e^{- x} - y \cdot e^{- y} \end{matrix})

Das ganze habe ich nun in Excel eingehakt und laufen gelassen. Ich habe verschiedene Startwerte genommen, doch es konvergiert einfach nicht.

Edit: hat jemand eine Ahnung wie ich den Startwert hier sinnvoll wähle?

Beim

n < 1

newton verfahren zeichne ich den Graph und überlege mir, wo in etwa die Nullstelle sein kann und lasse es dann von beiden oder einer Seite laufen. Wie sieht es hier auf?
Wie plotte ich den Graph? Ich habe schließlich zwei funktionen? Muss ich beide Getrennt plotten? Worauf muss ich dan achten? Wenn ich diese in Wolfphram plotte sieht es aus, als wenn die Funktion jeweils nie die

x

achse erreicht.

Ich habe auch versucht das ganze einmal analytisch zu lösen und einfach die erste formel nach

y

umgestellt und in die andere eingesetzt. Gebe ich das ganze in Wolfphramalpha ein kommt, dass es keine Lösung gibt...

Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

16:52 Uhr, 11.03.2019

Hallo,

wenn ich die Jacobi-Matrix invertieren lasse erhalte ich folgendes wie im Anhang.

Gruß

pivot

HAL9000

17:00 Uhr, 11.03.2019

Es sieht so aus, als hast du die Jacobi-Matrix falsch invertiert: Tatsächlich ist

{(\begin{array}{cc} - e^{- x} & e^{- y} \\ - e^{- x} (x - 1) & e^{- y} (y - 1) \end{array})}^{- 1} = \frac{1}{y - x} (\begin{array}{cc} e^{x} (1 - y) & e^{x} \\ e^{y} (1 - x) & e^{y} \end{array})

.

Den Rest hab ich mir (noch) nicht angeschaut.

EDIT: Man sollte doch "aktualisieren" drücken, bevor man einen Beitrag absendet...

MarenKnappig aktiv_icon

22:58 Uhr, 11.03.2019

x_{i} + 1 = x_{i} - \frac{9 \cdot e^{x + y} - 10 \cdot e^{y} + 10 \cdot e^{x} - 10 \cdot e^{y} \cdot x - 9 \cdot e^{x + y} \cdot y + 10 \cdot e^{y} \cdot y}{10 \cdot e^{y} \cdot x - 10 \cdot e^{y} \cdot y},

y_{i} + 1 = y_{i} - \frac{9 \cdot e^{x + y} - 10 \cdot e^{y} + 10 \cdot e^{x} - 9 \cdot e^{x + y} \cdot x - 10 \cdot e^{x} \cdot x + 10 \cdot e^{x} \cdot y}{10 \cdot e^{x} \cdot x - 10 \cdot e^{x} \cdot y}

i

x_{i}

y_{i}

0 0 1
1

0.367879441

2.728171817

0.032206681

3.352383062

0.08337323

3.816352214

0.083854446

3.927355319

0.083814849

3.932137459

0.083814786

3.932145949

0.083814786

3.932145949

Könnt Ihr mir vielleicht noch einen Tipp geben, wie ich das ganze visuell darstellen kann. Und wie ich ungefähr weiß, wie ich die richtigen Startwerte wähle? Beim Newton verfahren mit

n = 1

kann man es ja gut abschätzen über eine werte Tabelle oder plotten. Man kann auch gut sehen, dass das ganze für

x = y

nicht definiert ist. Was sagt mir das?

MarenKnappig aktiv_icon

11:44 Uhr, 12.03.2019

Ich habe beide Funktionen einmal von GeoGebra plotten lassen.
Dabei kommen zwei Flächen heraus, die sich offenbar weder an der gleichen Stelle an den Achsen schneiden, noch an den Stellen, die ich berechnet habe sprich

x = 0,083814786

und

y = 3,932145949

.

Weiß jemand vielleicht, wo hier mein Denkfehler steckt?

pivot aktiv_icon

15:21 Uhr, 12.03.2019

Zum Plotten ein zwei Anmerkungen:

1. Du hast den Schnittpunkt bei

x = 0, 083814786

und

y = 3, 932145949

. D.h. logischerweise, dass die y-Achse auch den Wert 3,932145949 enthalten muss. Man kann z.B. in den Intervallen -1<x<1; 3<y<5 plotten.

2. Günstig ist es natürlich wenn man beide Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen würde. Das sollte mit Geogebra möglich sein.

Insgesamt muss man natürlich mit dem Programm ein bisschen rumspielen. Es ist bestimmt günstig, wenn man die Flächen transparent ausfüllt.

Zu den Startwerten kann ich jetzt nichts sagen. Was aber auffällt ist, dass die Gleichungen symmetrisch sind bezüglich der x- und y-Variable. D.h. dass

y = 0, 083814786

und

x = 3, 932145949

auch eine Lösung sein müsste. Vertausche mal die Startwerte.

MarenKnappig aktiv_icon

12:31 Uhr, 13.03.2019

Danke, ich glaube ich weiß wo mein Fehler ist.

Ich hatte aus irgendeinem Grund gedacht, dass die beiden Funktionen die gleichen Nullstellen besitzen, sprich bei den gleichen

x

und

y

Koordinaten die Achsen schneiden. Allerdings ist das natürlich Unsinn, da der Funktionswert, also in diesem Falle der Wert der "Z-Achse"

= 0

ist.

Jetzt habe ich es verstanden. Danke

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