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Newton - Verfahren

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

anonymous

19:36 Uhr, 21.07.2021

Wir wollen numerisch eine Lösung der Gleichung

e^{x} = 4 x, x \in ℝ,

bestimmen.

(a)

Formulieren Sie das Problem als Nullstellenproblem und stellen Sie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens auf. Welche Startwerte

x_{0} \in ℝ

sind zulässig?

(b)

Zeigen Sie, dass die Gleichung

e^{x} = 4 x

genau zwei Lösungen

\bar{x_{1}}

und

\bar{x_{2}}, \bar{x_{1}} < \bar{x_{2}}

hat. (Sie müssen die Lösungen nicht bestimmen)

(c)

Überprüfen Sie, für welche Startwerte

x_{0}

das Newton Verfahren gegen

\bar{x_{1}}

bzw.

\bar{x_{2}}

konvergiert. Welche Konvergenzordnung liegt bei

\bar{x_{1}}

und

\bar{x_{2}}

vor?

- - - -

(a)

e^{x} = 4 x \Leftrightarrow e^{x} - 4 x = 0,

wobei

f (x) := e^{x} - 4 x

Iterationsvorschrift:

x_{k + 1} = x_{k} - \frac{f (x_{k})}{f' (x_{k})}

\Rightarrow x_{k + 1} = x_{k} - \frac{e^{x} - 4 x}{e^{x} - 4}

e^{x} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = ln (4)

Alle Startwerte

x_{0} \in ℝ \ ln (4)

sind zulässig.

- - - -

(b)

Hier fangen meine Fragen an. Ich würde zuerst zeigen, dass die Funktion überhaupt ein Extrema hat (Lineare Funktionen haben ja maximal eine Nullstelle)

\Rightarrow f' (x) = 0 \Rightarrow e^{x} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = ln (4)

Die Funktion hat ein Extrema in

x = ln (4)

Jetzt würde ich die Ränder betrachten, damit wir nicht gegen irgendeine Zahl als Grenze konvergieren.
Allerdings weiß ich dann nicht weiter, wie ich zeigen kann, dass es sich genau um 2 Nullstellen handelt.

- - - -

(c)

Hier brauche ich Hilfe generell.

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

21:06 Uhr, 21.07.2021

b)

f (ln (4)) < 0

f' (x) < 0 \Rightarrow x < ln (4)

f' (x) > 0 \Rightarrow x > ln (4)

f (0) > 0

f (3) > 0

\Rightarrow . .

c)

\bar{x_{1}} < \bar{x_{2}}

Für Startwerte

< ln (4) \Rightarrow \bar{x_{1}}

Für Startwerte

> ln (4) \Rightarrow \bar{x_{2}}

Respon

10:47 Uhr, 23.07.2021

Grafische Ergänzung zur Frage : "Welche Konvergenzordnung liegt bei

\bar{x_{1}}

und

\bar{x_{2}}

vor?"

( Aber offensichtlich dürfte sowieso kein Interesse mehr bestehen. )

anonymous

11:28 Uhr, 23.07.2021

Sorry - aber manchmal gibt es wichtigere Dinge im Leben

\to

b)

Du siehst dir an, dass der y-Wert der Extremstelle größer als Null ist. Wieso? Was bringt uns diese Aussage in Bezug auf die Anzahl der Nullstellen?
Dann schaust du dir an, für welche Werte von

x

die Ableitung kleiner 0 ist und für Welche werte größer 0.
Wie kommst du dann aber auf

f (0)

und

f (3)

Mathe45

11:37 Uhr, 23.07.2021

In Worten.
Der y-Wert der Extremstelle ist kleiner

0,

sie liegt also - geometrisch - unterhalb der x-Achse im 4. Quadranten.
"links" von

x = ln (4)

fällt die Funktion, "rechts" davon steigt sie.
Da

f (0) > 0 -

und unsere Funktion ist ja stetig - muss zwischen

x = 0

und

x = ln (4)

genau eine Nullstelle sein.
Analoge Überlegung für

x > ln (4)

f (3)

ist beliebig gewäht, wichtig ist, dass der Funktionwert

> 0

ist und daher genau eine weitere Nullstelle existieren muss.
Siehe dazu auch die Grafik.

anonymous

11:43 Uhr, 23.07.2021

Alles klar, got it :-)

c)

dann ebenso!

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