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Newton - Verfahren

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Tags: Funktion

 
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anonymous

anonymous

19:36 Uhr, 21.07.2021

Antworten
Wir wollen numerisch eine Lösung der Gleichung ex=4x,x, bestimmen.

(a) Formulieren Sie das Problem als Nullstellenproblem und stellen Sie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens auf. Welche Startwerte x0 sind zulässig?

(b) Zeigen Sie, dass die Gleichung ex=4x genau zwei Lösungen x1¯ und x2¯,x1¯<x2¯ hat. (Sie müssen die Lösungen nicht bestimmen)

(c) Überprüfen Sie, für welche Startwerte x0 das Newton Verfahren gegen x1¯ bzw. x2¯ konvergiert. Welche Konvergenzordnung liegt bei x1¯ und x2¯ vor?

----

(a) ex=4xex-4x=0, wobei f(x):=ex-4x

Iterationsvorschrift: xk+1=xk-f(xk)f'(xk)

xk+1=xk-ex-4xex-4

ex-4=0x=ln(4)

Alle Startwerte x0\ln(4) sind zulässig.


----

(b) Hier fangen meine Fragen an. Ich würde zuerst zeigen, dass die Funktion überhaupt ein Extrema hat (Lineare Funktionen haben ja maximal eine Nullstelle)

f'(x)=0ex-4=0x=ln(4)
Die Funktion hat ein Extrema in x=ln(4)

Jetzt würde ich die Ränder betrachten, damit wir nicht gegen irgendeine Zahl als Grenze konvergieren.
Allerdings weiß ich dann nicht weiter, wie ich zeigen kann, dass es sich genau um 2 Nullstellen handelt.


----

(c) Hier brauche ich Hilfe generell.


lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Respon

Respon

21:06 Uhr, 21.07.2021

Antworten
b)
f(ln(4))<0
f'(x)<0x<ln(4)
f'(x)>0x>ln(4)
f(0)>0
f(3)>0
...


c)
x1¯<x2¯
Für Startwerte <ln(4)x1¯
Für Startwerte >ln(4)x2¯


Antwort
Respon

Respon

10:47 Uhr, 23.07.2021

Antworten
Grafische Ergänzung zur Frage : "Welche Konvergenzordnung liegt bei x1¯ und x2¯ vor?"


( Aber offensichtlich dürfte sowieso kein Interesse mehr bestehen. )

Graph
anonymous

anonymous

11:28 Uhr, 23.07.2021

Antworten
Sorry - aber manchmal gibt es wichtigere Dinge im Leben

Zu b)
Du siehst dir an, dass der y-Wert der Extremstelle größer als Null ist. Wieso? Was bringt uns diese Aussage in Bezug auf die Anzahl der Nullstellen?
Dann schaust du dir an, für welche Werte von x die Ableitung kleiner 0 ist und für Welche werte größer 0.
Wie kommst du dann aber auf f(0) und f(3)?
Antwort
Mathe45

Mathe45

11:37 Uhr, 23.07.2021

Antworten
In Worten.
Der y-Wert der Extremstelle ist kleiner 0, sie liegt also - geometrisch - unterhalb der x-Achse im 4. Quadranten.
"links" von x=ln(4) fällt die Funktion, "rechts" davon steigt sie.
Da f(0)>0- und unsere Funktion ist ja stetig - muss zwischen x=0 und x=ln(4) genau eine Nullstelle sein.
Analoge Überlegung für x>ln(4)
f(3) ist beliebig gewäht, wichtig ist, dass der Funktionwert >0 ist und daher genau eine weitere Nullstelle existieren muss.
Siehe dazu auch die Grafik.
anonymous

anonymous

11:43 Uhr, 23.07.2021

Antworten
Alles klar, got it :-) c) dann ebenso!