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Newton Verfahren Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Tags: Konkav, Konvergenz, Konvergenzgeschwindigkeit, konvex, Newton-Verfahren

 
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mathematiksara

mathematiksara aktiv_icon

19:47 Uhr, 26.01.2021

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Hallo! Ich finde leider nichts im Internet und bräuchte aber sehr dringend für eine Prüfung diesen Beweis:

Sei f ∈ C1(ℝ) streng monoton fallend und konkav mit Nullstelle x*. Das Newton- Verfahren für alle Startwerte x0∈ℝ konvergiert quadratisch gegen die eindeutige Nullstelle x*.

Wäre wirklich unfassbar dankbar fürjeden Tipp!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:25 Uhr, 27.01.2021

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Hallo,

mach Dir mal eine Skizze - die geometrische Interpretation des NV ist Dir bekannt? - dann siehst Du, dass die Aussage offenbar richtig ist.

Zum Beweis sei z die Nullstelle, x>z ein Punkt und y=x-f'(x)-1f(x) der nächste Punkt im Newtonverfahren. Dann kann man zeigen, dass z≤y<x ist.

Die rechte Ungleichung ergibt sich unmittelbar aus den Eigenschaften von f und f'.

Die linke ergibt sich aus folgende Ungleichung (auch durch die Skizze motivert, beachte f(z)=0):

z=x-z-xf(z)-f(x)f(x)≤x-f'(x)-1f(x)=y

Das ≤ erhält man indem man f(z)-f(z) mit Hilfe des Mittelwertsatzes ausdrückt und wieder die Eigenschaften von f und f' ausnutzt.

Insgesamt liefert das NV also eine Folge (xn) mit z≤xn+1<xn<... <x0

bleibt noch der Fall, dass der Startwert links von z liegt. Eine Skizze zeigt, dass der erste Schritt auf die rechte Seite von z führt und dann wie oben.

Gruß pwm
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