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Newton Verfahren Lösung

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Funktionen

Tags: Funktion, Newton-Verfahren-Verfahren

anonymous

15:25 Uhr, 06.11.2014

Kann mir bitte jemand helfen. Ich komme nicht weiter:

Aufgabe :

Bestimmen Sie unter Verwendung des Newton-Verfahrens alle lokalen Extremstellen der Funktion

f (x) = x^{5} - x^{3} (3 - sin (x))

auf zwei Nachkommastellen genau.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

16:17 Uhr, 06.11.2014

"
alle lokalen Extremstellen der Funktion ..
"

falls du noch nicht selbst dahinter gekommen bist:
hier ein Tipp:

die Extremstellen findet man mit dem Grundwissen, dass die Nullstellen
der

e r s t e n

Ableitung von

f (x)

viel damit zu tun haben könnten.

also:
berechne zuerst

f' (x)

und erst dann kommt die Näherungsmethode zur Berechnung der Nullstellen von

f' (x)

ins Spiel ..

also

\to f' (x) = . .

anonymous

16:30 Uhr, 06.11.2014

Okay aber ich bekomme nicht die Grundfunktion hin.
Kannst du mir da helfen?

also

f (x) = 0

ausrechnen?

rundblick aktiv_icon

17:50 Uhr, 06.11.2014

"
Okay aber ich bekomme nicht die Grundfunktion hin.
"

Mann - was soll das ?

\to

dir IST die Funktion gegeben

\to

f (x) = x^{5} - x^{3} \cdot (3 - sin (x))

die hat einen schönen, bequemen Sattelpunkt bei

x = 0

.. da kannst du dich nun reinsetzen und nach links und recht Ausschau halten,

denn irgendjemand will doch von dir nun die Extrema dieser Funktion wissen
.. dazu solltest du dir die Nullstellen der ersten Ableitung von

f (x)

anschauen
so für

x

zwischen

- 2

und

- 1

sowie zwischen 1 und 2

für gute Näherungswerte in diesen beiden Intervallen sollst du Newton wiederbeleben..

ok?

also nochmal: ermittle zuerst

f' (x) = . .

.

(du wirst ja hoffentlich wissen, wie ab geleitet wird?)

anonymous

19:14 Uhr, 06.11.2014

ah okay, ich dachte mann muss die Grundfunktion erst ausmultiplitzieren!

pleindespoir aktiv_icon

20:48 Uhr, 06.11.2014

Was genau wolltest Du da ausmultiplizieren ?
Die Ableitung wird dadurch nicht wirklich einfacher.
Und was bekommst Du da nicht hin ?

anonymous

13:24 Uhr, 29.12.2014

Habe jetzt abgeleitet:

−3x^2⋅(3−sin(x))+x^3⋅cos(x)+5x^4

Ist das richtig?
Wie geht es weiter?

ledum aktiv_icon

16:38 Uhr, 29.12.2014

Bitte lies, was du geschrieben hast mit Vorschau. ich kann das nicht wirklich lesen, was ich rauslesen kann ist richtig.
Wenn du die Ableitung hast, finde zuerst die Nst bei

x = 0

dann dividiere durch

x^{2}

es bleibt eine fkt übrig, deren Nst du mit Newton bestimmen sollst.
Gruß ledum

anonymous

18:19 Uhr, 29.12.2014

Ah okay. Da ist was schief gelaufen.

Ja hab die erste Ableitung.

Aber warum muss ich da durch

x 2

teilen?

Muss man nicht in die Xn Formel einsetzen?

Danke

anonymous

08:46 Uhr, 30.12.2014

Hab das jetzt mal so gemacht.

Bekomme da bei dem Startwert

x = 1

das Ergebnis

= 0,3274472

raus.

Kann das stimmen?

Danke

ledum aktiv_icon

18:37 Uhr, 31.12.2014

Hallo
warum setzt du dein Ergebnis nicht zur Überprüfung selbst ein? Das ist dieselbe Rechnung auch für uns.
aber falsch ist es!
Gruß ledum

anonymous

08:39 Uhr, 02.01.2015

Ok schlecht. Ich komm einfach nicht auf die Lösung.

Kann mir jemand helfen, bzw. den Rechenweg zeigen?

Danke

pleindespoir aktiv_icon

09:55 Uhr, 02.01.2015

Mir ist auch schlecht.

War grade im Garten und --- jetzt ist der Rechen weg!

---

Zeige mal schrittweise und leserlich wie du die Ableitung vollführst.

anonymous

09:59 Uhr, 02.01.2015

Anbei meine Ableitung

pleindespoir aktiv_icon

10:12 Uhr, 02.01.2015

systematisch ist anders - weshalb würfelst du die Sachen rum wie ein Orkan?

Übrigens ist nicht ganz fertig aber bisher scheints richtig zu sein.

anonymous

10:18 Uhr, 02.01.2015

Wie das ist nicht ganz fertig?

Aber der nächste Schritt ist doch jetzt in meine newton Formel einzusetzen oder?

xn- f(xn)/f'(xn)

oder?

pleindespoir aktiv_icon

10:30 Uhr, 02.01.2015

Anstelle zu orkanisieren empfehle ich eine organisierte Darstellung der Funktion und ihrer Ableitung:

f (x) = x^{3} (x^{2} + \sin (x) - 3)

f ʹ (x) = x^{2} (5 x^{2} + 3 \sin (x) + x \cos (x) - 9)

spart anschliessend Rechenarbeit infolge Kürzungsmöglichkeiten.

anonymous

10:36 Uhr, 02.01.2015

okay danke

aber was zum teufel mach ich falsch?

Wenn ich wieder in diese Ableitung xn= 1 einsetze kommt

0.32744

raus!

Danke

pwmeyer aktiv_icon

10:51 Uhr, 02.01.2015

Hallo,

eine Zwischenfrage: Ist bewusst, dass eine Extremstelle gesucht wird und nicht eine Nullstelle von f?

Gruß pwm

pleindespoir aktiv_icon

10:53 Uhr, 02.01.2015

Der Hit ist ja nicht, dass die Nullstelle der Funktion, sondern Extrema gesucht werden sollen!
Also die Nullstelle der Ableitung - nicht die Nullstelle der Funktion.
Die zweite Ableitung muss also auch noch herbei ... schrecklich

anonymous

11:02 Uhr, 02.01.2015

Ok hier meine zweite Ableitung.

Aber wie berechne ich denn jetzt die Extremestellen? Vor allem warum steht in meiner Newton Formel nicht, dass ich die zweite Ableitung brauche? Verstehe ich nicht ganz.

Danke

pleindespoir aktiv_icon

11:14 Uhr, 02.01.2015

auch deine 2. Ableitung kann noch etwas Aufräumarbeiten vertragen.

Wenn Du die Nullstelle einer Funktion mit Newton suchst, brauchts die erste Ableitung

Suchst du hingegen die Nullstelle der ersten Ableitung, brauchts die 2. Ableitung

anonymous

11:17 Uhr, 02.01.2015

Okay kann mir jemand sagen, welche Schritte ich genau machen muss um die am Anfang gestellte Aufgabe zu lösen? Vielleicht auch so, dass ich es verstehe :-)

Danke

ledum aktiv_icon

11:32 Uhr, 02.01.2015

Hallo
vielleicht ist es leichter für dich

f' (x) = g (x)

zu nennen, und die Nullstellen von

g (x)

zu suchen, dann brauchst du ja auch nur die Ableitung von

g

und das Verfahren ist dir klarer.
Als ersten Schritt würde ich dann

g (x)

bzw

\frac{g (x)}{x^{2}}

plotten, damit du weisst wo die Nst ungefähr liegen.

Gruß ledum

anonymous

11:46 Uhr, 02.01.2015

Okay habe die Nullstelllen:

x 1 = - 1.5476464972401909

x 2 = 1.0844766267776065

und jetzt?

anonymous

13:58 Uhr, 02.01.2015

Stimmen die Nullstellen?

abakus

13:59 Uhr, 02.01.2015

Das sind die Extremstellen. Nun musst du nur noch den Aufgabensteller überzeugen, dass du sie mit dem Newton-Verfahren ermittelt hast.

anonymous

14:06 Uhr, 02.01.2015

okay aber welchen Startwert nehme ich jetzt?

- 1

?
und setze ich das dann in diese Formel ein?

abakus

14:23 Uhr, 02.01.2015

Das kannst du so machen, mit diesem Startwert solltest du eine der beiden Extremstellen finden.

anonymous

14:41 Uhr, 02.01.2015

Ah super und ich wiederhole so lange, bis zweimal hintereinander dasselbe rauskommt oder?

abakus

14:52 Uhr, 02.01.2015

Ja.
Wähle dann einen zweiten Startwert, um die andere Extremstelle zu bekommen.

pleindespoir aktiv_icon

18:20 Uhr, 02.01.2015

bis zweimal hintereinander dasselbe rauskommt,ist das Universum vollständig in Antimaterie übergegangen.
In der Aufgabenstellung ist definiert, nach welcher Bedingung es "reicht".

Der Startwert -1 ist übrigens aus dem Bereich, der bei dem gewählten Näherungsverfahren leider nicht zu einem der Extrema führen wird, sondern zum Sattelpubkt bei 0,0

starte besser bei -2

anonymous

15:37 Uhr, 29.03.2015

Warum muss ich eigentlich in die zweite Ableitung einsetzen?
Verstehe ich nicht ganz....Bei den Ableitungen ist es ja ein krasser Aufwand und eine hohe Fehlerquote bei Taschenrechner Eingabe oder?

Danke für die Antwort

ledum aktiv_icon

19:45 Uhr, 29.03.2015

Hallo
Das wurde dir mehrfach erklärt. du suchst nicht Nullstellen von

f (x)

sondern welche von

g (x) = f' (x)

und davon ist die ERSTE Ableitung

g' = f''

wenn dir jand direkt die Ableitungsfunktion hingeschrieben hätte und sei

g (x)

genannt hättest du doch auch

g

abgeleitet.?
Und was ist der "krasse" Aufwand? für die einfache Ableitung braucht man doch keinen TR und in den was falsches einzugeben kann man natürlich immer??
Gruss ledum

anonymous

15:38 Uhr, 30.03.2015

Hallo,

ne die Ableitung habe ich ja errechnet. Allerdings das Einsetzen der Zahlen jedes mal neu in den Rechner ist ja ein erheblicher Aufwand oder mach ich was falsch?!

Roman-22

16:54 Uhr, 30.03.2015

> Allerdings das Einsetzen der Zahlen jedes mal neu in den Rechner ist
> ja ein erheblicher Aufwand oder mach ich was falsch?
Ja, das Betreiben von Mathe ist manchmal mühsam.
Wenn einem das zu mühsam ist, dann liegt der Fehler darin, dass man sich entschlossen hat, Mathe zu betreiben.
Du hast ja auch in anderen Threads schon sehr deutlich unter Beweis gestellt, dass du es gerne einfach und bequem hättest. Auch hat sich auch dort schon gezeigt, dass du nicht viel Ahnung davon hast, was von dir genau erwartet wird.
Wir können es aber leider auch nicht wissen, ob du einen besseren Taschenrechner verwenden darfst, bei dem man etwa selbst Funktionen definieren und diese dann sehr bequem an unterschiedlichen Stellen auswerten kann. Ich würde vermuten - Ja.
Auch können wir unmöglich wissen, ob du ein Tabellenkalkulations-Programm, ein Computeralgebra-Programm benutzen darfst.
Oder ob es vielleicht zulässig ist, wenn du den Newton Algorithmus in ein C-Programm (oder eine andere Programmiersprache) packst, damit die Extremwerte berechnest und Programm und Probelauf abgibst.
Wir können es nicht wissen!

Gruß R

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