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Newton-Verfahren, Nullstellen?

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Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktion, Funktionalanalysis, Mathematik, Newton-Verfahren, Nullstell

 
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xam193

xam193 aktiv_icon

14:28 Uhr, 27.06.2019

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Hallo! Es geht um folgende Aufgabe:

Ein Standardverfahren, um Nullstellen einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion f näherungsweise zu berechnen, ist das sogenannte Newton-Verfahren: Man beginnt mit einem Startwert x0. Die Folge {xn} wird nun iterativ definiert: Falls f'(xn)0, dann ist xn+1 die eindeutige Nullstelle des Taylorpolynoms ersten Grades von f an der Stelle xn.

1. Geben Sie eine explizite Formel für die Iteration an.

2. Zeigen Sie: Hat f eine Nullstelle x mit f'(x)0, dann gibt es eine Umgebung U von x, sodass für alle x0U die Folge {xn} definiert ist und gegen x konvergiert.

3. Vergleichen Sie die Newton-Iteration mit der Abbildung aus dem Beweis des Satzes über implizite Funktionen.

Ich verstehe irgendwie dieses Verfahren nicht... Ich hoffe ihr könnt mir helfen! :-)

LG Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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DerDepp

DerDepp aktiv_icon

15:12 Uhr, 27.06.2019

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Hossa :-)

Mit dem Newton-Verfahren können Nullstellen einer Funktion f(x) numerisch berechnet werden. Dazu gehst du von einem Näherungswert xn aus und berechnest die Tangente t(x) an die Funktion f(x) im Punkt xn:

t(x)=f(xn)+f(xn)(x-xn)

Der nächste Näherungswert ist der Punkt xn+1, an dem diese Tangente die x-Achse schneidet, bei dem also t(xn+1)=0 gilt:

0=t(xn+1)=f(xn)+f(xn)(xn+1-xn)xn+1=xn-f(xn)f(xn)

Die Iterationsformel sollst du im Folgenden weiter betrachten.

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