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Newtonsche Bewegungsgleichung lösen?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Anfangsbedingung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kraft, newton

gigachad aktiv_icon

09:50 Uhr, 23.05.2023

Hallo,
kann mir hier vielleicht jemand helfen wie ich die folgende DGL löse?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

JonSnow98 aktiv_icon

08:49 Uhr, 24.05.2023

Aus den beiden Formeln erhältst du für jede Koordinate eine homogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese kannst du lösen indem du die charakteristischen Gleichungen der DGL löst. In die allgemeine Lösung musst du dann nur noch deine Anfangswerte einsetzen und bekommst deine Lösung.

HJKweseleit aktiv_icon

22:50 Uhr, 31.05.2023

Ich übersetze den Vorgang mal in die Schulphysik:
Eine Masse m hängt an einer Feder, die im Raumursprung befestigt ist, idealerweise keine Eigenlänge hat und für die das Hookesche Federgesetz

\vec{F} (\vec{r}) = - k \vec{r}

gilt.

Dann vollführt die Masse in je zwei zueinander orthogonale Richtungen jeweils eine Sinusschwingung mit gleicher Periode, die bei Überlagerung eine Ellipse ergeben (da die Amplituden in beide Richtungen i.A. verschieden groß sind, sonst einen Kreis), deren Mittelpunkt aus Symmetriegründen der Ursprung ist.

Die Projektion solch einer Ellipse/eines Kreises auf eine beliebige Ebene durch den Ursprung gibt wieder eine Ellipse/einen Kreis.

KartoffelKäfer aktiv_icon

01:05 Uhr, 20.11.2023

a)

Es gilt

r : R \to R^{3}, t \mapsto cos (\sqrt{\frac{k}{m}} t) r_{0} + \sqrt{\frac{m}{k}} sin (\sqrt{\frac{k}{m}} t) v_{0}

.

Der Weg dahin:

" Masse

\cdot

Beschleunigung = Kraft " liefert

m \cdot r_{l}'' (t) = - k \cdot r_{l} (t) \Leftrightarrow r_{l}'' (t) = - \frac{k}{m} \cdot r_{l} (t)

mit

r_{l} : R \to R

für alle

1 \leq l \leq 3

(r_{l}

sind die Komponenten von

r

. Das geht, weil

r

eine Kurve ist

und die Komponenten beim Ableiten unter sich bleiben).

Wir machen daraus Systeme erster Ordnung durch

q_{l}' (t) = (\begin{matrix} r_{l}' (t) \\ - \frac{k}{m} \cdot r_{l} (t) \end{matrix})

mit

q_{l} : R \to R^{2}, t \mapsto (\begin{matrix} r_{l} (t) \\ r_{l}' (t) \end{matrix})

für alle

1 \leq l \leq 3

.

Dann gilt

q_{l}' (t) = A q_{l} (t)

mit

A := (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & 0 \end{matrix})

und somit

q_{l} (t) = e^{t A} (\begin{matrix} r_{0_{l}} \\ v_{0_{l}} \end{matrix})

für alle

1 \leq l \leq 3

(Das lernt man

z . B

. im Modul "Analysis 2" an der Uni).

Nach einem kleinen Eigenwert- Eigenvektor- und Invertierungsintermezzo (siehe unten)
erhalten wir daraus

q_{l} (t) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ i \sqrt{\frac{k}{m}} & - i \sqrt{\frac{k}{m}} \end{matrix}) e^{t (\begin{matrix} i \sqrt{\frac{k}{m}} & 0 \\ 0 & - i \sqrt{\frac{k}{m}} \end{matrix})} (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \end{matrix}) (\begin{matrix} r_{0_{l}} \\ v_{0_{l}} \end{matrix})

= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ i \sqrt{\frac{k}{m}} & - i \sqrt{\frac{k}{m}} \end{matrix}) (\begin{matrix} e^{i \sqrt{\frac{k}{m}} t} & 0 \\ 0 & e^{- i \sqrt{\frac{k}{m}} t} \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \end{matrix}) (\begin{matrix} r_{0_{l}} \\ v_{0_{l}} \end{matrix})

= (\begin{matrix} e^{i \sqrt{\frac{k}{m}} t} & e^{- i \sqrt{\frac{k}{m}} t} \\ i \sqrt{\frac{k}{m}} e^{i \sqrt{\frac{k}{m}} t} & - i \sqrt{\frac{k}{m}} e^{- i \sqrt{\frac{k}{m}} t} \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \end{matrix}) (\begin{matrix} r_{0_{l}} \\ v_{0_{l}} \end{matrix})

= (\begin{matrix} cos (\sqrt{\frac{k}{m}} t) & \sqrt{\frac{m}{k}} sin (\sqrt{\frac{k}{m}} t) \\ - \sqrt{\frac{k}{m}} sin (\sqrt{\frac{k}{m}} t) & cos (\sqrt{\frac{k}{m}} t) \end{matrix}) (\begin{matrix} r_{0_{l}} \\ v_{0_{l}} \end{matrix})

für alle

1 \leq l \leq 3,

was dem eingangs präsentierten Ergebnis entspricht.

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Eigenwert-, Eigenvektor- und Invertierungsintermezzo:

λ^{2} + \frac{k}{m} = 0 \Leftrightarrow λ = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}},

(\begin{matrix} - i \sqrt{\frac{k}{m}} & 1 \\ - \frac{k}{m} & - i \sqrt{\frac{k}{m}} \end{matrix}), (\begin{matrix} i \sqrt{\frac{k}{m}} & 1 \\ - \frac{k}{m} & i \sqrt{\frac{k}{m}} \end{matrix}) \approx \approx > (\begin{matrix} - i \sqrt{\frac{k}{m}} & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} i \sqrt{\frac{k}{m}} & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}),

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ i \sqrt{\frac{k}{m}} & - i \sqrt{\frac{k}{m}} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \approx \approx > (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \end{matrix}) \approx \approx > (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \end{matrix})

HAL9000

08:58 Uhr, 20.11.2023

Bevor man sich an den Wurzeln wund schreibt, kann man auch (am besten gleich am Anfang)

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

abkürzen, die Kreisfrequenz der hier vorliegenden Bewegung.

KartoffelKäfer aktiv_icon

12:13 Uhr, 20.11.2023

Schlimm find ich immer, wenn sie Pfeile an die Variablen machen.
Welcher Schwachmat hat sich das ausgedacht ?

gigachad aktiv_icon

22:31 Uhr, 22.11.2023

Vielen Dank :-)

KartoffelKäfer aktiv_icon

00:16 Uhr, 24.11.2023

Ich löse mich mal von der kranken Aufgabenstellung,

um noch ein wenig was zur Ellipsengeschichte zu dichten.

OBdA kann man sich

r_{0}

und

v_{0}

in der xy-Ebene vorstellen

und zudem noch

v_{0}

orthogonal zur

x -

Achse

(das lässt sich durch Drehungen immer realisieren).

Die Ortsfunktion hat dann die Gestalt

r : R \to R^{2}, t \mapsto (\begin{matrix} a cos (q t) \\ b cos (q t) + c sin (q t) \end{matrix})

mit

a, b, c \in R, q \in R \ {0}

.

Falls das eine Ellipse ist, muss es

e, d \in R \ {0}

geben,

sodass für alle

t \in R

\frac{{(a cos (q t))}^{2}}{d^{2}} + \frac{{(b cos (q t) + c sin (q t))}^{2}}{e^{2}} = 1

gilt, und somit auch

(a^{2} e^{2} + b^{2} d^{2}) {cos (q t)}^{2} + 2 b c d^{2} cos (q t) sin (q t) + c^{2} d^{2} {sin (q t)}^{2} = d^{2} e^{2}

.

Die letzte Gleichung liefert für

t = 0

a^{2} e^{2} + b^{2} d^{2} = d^{2} e^{2} (I)

und für

t = \frac{π}{2 q}

c^{2} d^{2} = d^{2} e^{2} (I I)

und für

t = \frac{π}{4 q}

a^{2} e^{2} + b^{2} d^{2} + 2 b c d^{2} + c^{2} d^{2} = 2 d^{2} e^{2} (I I I)

(I I)

liefert

c^{2} = e^{2} \neq 0

und

(I I I)

mit

(I)

noch

2 b c + c^{2} = e^{2}

und somit erhalten wir

2 b c = 0,

also

b = 0

wegen

c \neq 0

.

Damit die Ortsfunktion eine Ellipse ist,

muss also

c \neq 0

und

b = 0

und dann auch

a \neq 0

gelten

(r_{0}

und

v_{0}

müssen also orthogonal sein).

Dass

r

dann eine Ellipse ist, folgt direkt mit

d := a, e := c

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