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Newton'sches Abkühlungsgesetz - Aufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Berechnung der Abkühlung, Pro. mit der Aufgabe

heini11 aktiv_icon

15:31 Uhr, 13.02.2013

Ein Heizfeld hat eine Temp. von

200

°C; Die Umgebung von 20°C
Die Tem. wird nach

2 min

. gemessen und ist 160°C

Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Abkühlungsrate ca.

\frac{1}{4}

° pro Sejunde?

Ich habe keinen Ansatz.

Wer kann helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

vulpi aktiv_icon

17:20 Uhr, 13.02.2013

Hi !
Die Abkühlung verläuft exponentiell, wie der Zerfall einer radioaktiven Masse.
Allerdings "zerfällt" da nicht die ABSOLUTE Temperatur, sondern nur die DIFFERENZ zur
Umgebungs-Temperatur, der sie sich asymptotisch annähert.
Also konkret:
Die Anfangs-Differenz beträgt

200 - 20 = 180

Δ T (0) =

180°
Nach 2 Minuten ist sie um 40° geschrumpft (bzw. die Platte abgekühlt)

Δ T (2) =

140°
Das heißt, der vorbliebene Anteil an der Temp-DIFFERENZ beträgt nach 2 Min.

\frac{140}{180} = \frac{7}{9} = : k

Nach den nächsten 2 Minuten ändert sich das

Δ T

wiederum um den Faktor

k

also

Δ T (4) = Δ T (0) \cdot k^{2}

usw ,usw.
Gleiche Änderungsrate in gleichen Zeitintervallen : exponentieller Verfall

Die ABSOLUTE Temp ergibt sich dann einfach zu:

T (t) = 20

+

180°

\cdot k^{(\frac{t}{2 min})} | t =

Zeit in beliebiger Einheit

\frac{t}{2 min}

ist sozusagen die "Anzahl" der 2-Minuten-Intervalle.
ist die Zeiteinheit

[2 min]

festgelegt, kann das

\frac{1}{2 min}

auch entfallen.
also

T (t) = 20

+

180°

\cdot k^{t}

mit

t

in 2min
Die Abkühlungsrate gibt die 1.Ableitung dieser Temperatur-Funktion.

lg

sm1kb aktiv_icon

18:58 Uhr, 13.02.2013

Hallo asd,
das Newtonsche Abkühlungsgesetz steht hier:
<http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=newtonsches%20abk%C3%BChlungsgesetz&source=web&cd=1&sqi=2&ved=0CDAQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.mathe.tu-freiberg.de%2F~bernstei%2FHMI%2FmNewton.pdf&ei=crobUafPC4Kn0AWzpoGQDQ&usg=AFQjCNF_A_ZiFSKy3ija7Q9LfBfvyagoUA&bvm=bv.42261806,d.d2k&cad=rja>

T (t) = T_{u} + (T_{0} - T_{u}) \cdot e^{- k \cdot t} = 20 + (200 - 20) \cdot e^{- k \cdot t}

;

T

in °C und

t

in min.
Mit

160 = 20 + (200 - 20) \cdot e^{- k \cdot 2}

ist

k = - \frac{l n 7 / 9}{2} m i n^{- 1} = - \frac{l n 7 / 9}{2 \cdot 60} s^{- 1}

Die Abkühlungsrate ist die 1. Ableitung der Funktion, also

T ʹ (t) = - k \cdot (T_{0} - T_{u}) \cdot e^{- k \cdot t} = \frac{l n 7 / 9}{2 \cdot 60} \cdot 180 \cdot e^{\frac{l n 7 / 9}{2} \cdot t}

mit

T ʹ

° C / s

und

t

m i n

erhält man

t = 3, 268 m i n = 196, 1 s

Gruß von sm1kb

heini11 aktiv_icon

09:11 Uhr, 15.02.2013

Danke für die Hilfe für beide Ausführungen.

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