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Newtonverfahren

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Tags: Newton-Verfahren

 
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Mathestud1

Mathestud1 aktiv_icon

18:56 Uhr, 19.07.2019

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Betrachte das Newtonverfahren für nicht-lineare Gleichungen f(x)=0 mit fC2(D,n),DRn,n Die Ableitungsmatrix sei überall in D invertierbar und es gebe für eine Vektornorm, mit zugehöriger Matrixnorm, Konstanten L1,L2< mit f(x)-1<L1,f(x)(p,q)<L2pq,p,qn,xD
Zudem konvergiert das Verfahren gegen eine Lösung x*D

Zeigen Sie, dass das Verfahren radial in eine Lösung einläuft mit limkΔxk-(x*-xk)x*-xk=0, wobei xkn den Iterationsvektor der k-ten Iteration und ΔxkRn das Newtoningrement der k-ten Iteration bezeichnet


Hallo,

brauche hier dringend Hilfe, da ich nächste Woche meine Numerik Klausur schreibe und diese Aufgabe in den Altklausuren gefunden habe. Leider habe ich (vom unten stehenden Tipp abgesehen) keine Ahnung was man bei der Aufgabe konkret machen soll und was ich mit der Taylorentwicklung anfangen soll.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte und seine Lösung kurz erläutert :-)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

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17:49 Uhr, 20.07.2019

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Hallo,

der Term im Zähler (ohne die Norm) lässt sich schreiben als

-F'(xk)-1F(xk)+F'(xk)-1F(x)-F'(xk)-1F'(xk)(x-xk)

Jetzt entwickelst Du F(x) um den Punkt xk und dann fallen alle linearen Terme heraus.

Gruß pwm
Mathestud1

Mathestud1 aktiv_icon

23:23 Uhr, 20.07.2019

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Danke schonmal für deine Mühe!

Allerdings weiß ich nicht wie du darauf gekommen bist, den Zähler so umzuschreiben. Delta x kann ich zwar ersetzen, da kommt bei mir aber was ganz anderes raus.
Wäre super wenn du mir das noch etwas detaillierter erklären könntest.
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

18:09 Uhr, 21.07.2019

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Hallo,

Δxk=xk+1-xk=xk-F'(xk)-1F(xk)-xk

Gruß pwm
Mathestud1

Mathestud1 aktiv_icon

20:37 Uhr, 21.07.2019

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Also sei mir nicht böse, aber in dem ganzen Lernstress komme ich damit immer noch nicht weiter.
Wie kommst du auf die anderen Bestandteile, die du im Zähler verwendet hast?

Es wäre wirklich super wenn du mir in groben Zügen die Lösung der Aufgabe verraten könntest, da ich wie gesagt nächste Woche meine Klausur schreibe und es daher ziemlich eilt.


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