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Nicht-Kommutativität von Differentialoperatoren

Universität / Fachhochschule

Tags: Differentialoperator

Sukomaki aktiv_icon

11:15 Uhr, 22.10.2020

Hallo,

bei der Beschäftigung mit Lie-Algebren fand ich folgendes Beispiel :

Es sei

L_{1}

die Menge aller Differentialoperatoren erster Ordnung

D := \sum_{j = 1}^{n} a_{j} (x) \partial_{j}

auf dem

ℝ^{n}

mit

\frac{\partial}{\partial_{j}}

und

C^{\infty}

-Funktionen

a_{j} : ℝ^{n} \to K

.

Dann bildet

L_{1}

bezüglich

[D_{1}, D_{2}] := D_{1} D_{2} - D_{2} D_{1}

eine Liealgebra über

K

Ich dachte, Differential-Operatoren wären von Natur aus kommutativ?

Hat jemand ein Gegenbeispiel, bei dem Differential-Operatoren
nicht kommutieren?

Gruß
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

12:04 Uhr, 22.10.2020

Z.B.

D_{1} = x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{1}}

D_{2} = \frac{\partial}{\partial x_{2}}

Dann gilt

(D_{1} D_{2}) (x_{1} x_{2}) = x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{1}} (\frac{\partial}{\partial x_{2}} (x_{1} x_{2})) = x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{1}} (x_{1}) = x_{2}

(D_{2} D_{1}) (x_{1} x_{2}) = \frac{\partial}{\partial x_{2}} (x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{1}} (x_{1} x_{2})) = \frac{\partial}{\partial x_{2}} (x_{2}^{2}) = 2 x_{2}

Sukomaki aktiv_icon

12:37 Uhr, 22.10.2020

Ok,

mir war nicht klar, dass man Differentialoperatoren so verwenden kann.

Irgendwie dachte ich, dass

D := \sum_{j = 1}^{n} c_{j} \partial_{j}

sein muss, wobei

c_{j}

konstant ist.
Quasi eine Linearkombination aus partiellen Ableitungen.

Aber das ist ja Quatsch, weil in meinem Beispiel oben extra steht, dass
auch ein Polynom

a_{j}

benutzt werden darf.

Und der Laplace-Operator fällt nicht unter die betrachteten Differentialoperatoren,
weil er zweiter Ordnung ist. Richtig?

DrBoogie aktiv_icon

12:41 Uhr, 22.10.2020

"Aber das ist ja Quatsch, weil in meinem Beispiel oben extra steht, dass
auch ein Polynom aj benutzt werden darf."

Nicht nur ein Polynom, es kann eine beliebige unendlich diff-bare Funktion sein.

"Und der Laplace-Operator fällt nicht unter die betrachteten Differentialoperatoren,
weil er zweiter Ordnung ist. Richtig?"

Ja

Sukomaki aktiv_icon

12:53 Uhr, 22.10.2020

Prima, danke,

jetzt ist mir die Definition eines Differentialoperators erster Ordnung klarer. :-)

Toll, dass man da eine Liealgebra draus machen kann.

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